Bonjour Laura210
Les questions 1 et 2 permettent de conclure d'une part que la suite [tex](\ell_n)[/tex] est une suite géométrique de raison 0,98 et dont le premier terme est [tex]\ell_1=12,25[/tex] et d'autre part que [tex]\boxed{\ell_n=12,25\times0,98^{n-1}}[/tex]
Question 3
La situation sera "critique" si la largeur de la dune deviendra inférieure à 8 mètres.
a) Pour déterminer combien années au moins sont nécessaires pour la situation devienne critique, il faut résoudre l'inéquation [tex]\ell_n\ \textless \ 8[/tex]
[tex]12,25\times0,98^{n-1}\ \textless \ 8\\\\0,98^{n-1}\ \textless \ \dfrac{8}{12,25}\\\\\\0,98^{n-1}\ \textless \ \dfrac{8\times4}{12,25\times4}\\\\\\\boxed{0,98^{n-1}\ \textless \ \dfrac{32}{49}}[/tex]
b) Par un tableur, nous pouvons calculer les valeurs des différentes puissances de 0,98 jusqu'à ce que la relation [tex]0,98^{n-1}\ \textless \ \dfrac{32}{49}[/tex] soit vérifiée.
Notons que [tex]\dfrac{32}{49}\approx0,653[/tex].
Il faut donc trouver n tel que [tex]0,98^{n-1}\ \textless \ 0,653[/tex]
Voici le début du tableau :
[tex]\begin{array}{c|c|} n-1&0,98^{n-1}\\1&0,98\\2&0,9604\\3&0,9411\\4&0,9223\\5&0,9039\\6&0,8858\\7&0,8681\\8&0,8507\\9&0,8337\\10&0,817\\11&0,8004\\12&0,7847\\13&0,769\\14&0,7536\\15&0,7385\\16&0,7237\\17&0,7093\\18&0,6951\\19&0,6812\\20&0,6676\\21&0,6542\\...&... \end{array}[/tex]
Donc
[tex]0,98^{n-1}\ \textless \ 0,653\\\\\Longleftrightarrow n-1\ge21\\\\\Longleftrightarrow n\ge21+1\\\\\Longleftrightarrow\boxed{n\ge22}[/tex]
Par conséquent, la situation pourrait devenir critique au bout de 22 ans.
