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Bonjour, j’ai un devoir en maths sur les variations d’une fonction et je ne comprends pas si quelqu’un pouvait m’apporter son aide !
L’énoncé: f(x) = x + (1/x) sue [1;4] et g(x) = 2x/x^2 +1 sur [-2;2].
Merci d’avance et bonne soirée :D


Sagot :

Réponse :

Les variations d'une fonction f(x) dépendent du signe de sa dérivée f'(x).

si f'(x)>0 f(x) et croissante et si f'(x) est<0  f(x) est décroissante.  On recherche la dérivée f'(x) de la fonction f(x) et on étudie le signe de cette dérivée sur le(s) intervalle(s) démandé(s)

Explications étape par étape.

f(x)=x+1/x  sur [1; 4]

f'(x)=1-1/x²=(x²-1)/x²  f'(x) est du signe de x²-1

f'(x)=0 pour x=-1  et x=1

avec ceci on fait le tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x         1                                          4

f'(x)      0..........+..................................

f(x)       f(1)........croissante..................f(4)

calcule f(1) et f(4)

                              ****************************

g(x)=2x/(x²+1)  sur [-2; +2]  et je pense que tu as oublié de mettre des (   ) au diviseur

dérivée g'(x)?   g(x) est de la forme u/v sa dérivée est donc

(u'v-v'u)/v² avec  u=2x  donc u'=2   v=x²+1     donc v'=2x

g'(x)=[2(x²+1)-2x(2x)]/(x²+1)²=(-2x²+2)/(x²+1)²=2*(1-x²)/(x²+1)²

le terme x²+1 est toujours >0 donc le signe de g'(x) dépend du signe de 1-x²  on note que g'(x)=0pour x=-1 et x=1

Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x) sur [-2; +2]:

x          -2                         -1                            +1                        +2

g'(x)     ..................-...............0................+.............0..................-................

g(x)    g(-2).....décroi..........g(-1).......croi.............g(1)..........décroi......g(2)

calcule g(-2); g(-1); g(1)  et g(2)

On note que g(-x) =-g(x)   cette fonction est impaire donc O, centre du repère (O;i;j), est un centre de symétrie.