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3. Utiliser des fonctions pour résoudre un problème
Le patron de « Chez Max » sait parfaitement que, dans son restaurant, le nombre de couverts, lors du repas de midi, dépend du prix de son menu. Il voudrait donc proposer celui-ci à un prix lui permettant d'optimiser son bénéfice. L'étude de marché qu'il a fait réaliser a permis de modéliser le lien entre le prix du menu et le nombre de couverts de la façon suivante :
⚫ en vendant 20 € son menu (prix initialement proposé), il sert 300 couverts. chaque hausse de 1 € du prix du menu diminue le nombre de couverts de 10.
Le coût de fabrication d'un menu est de 14 €.
1) Compléter le tableau :
Nombre de
couverts
Prix du menu (en €)
20 €
Chiffre d'affaires (en €)
Coût total de fabrication (en €)
Bénéfice (en €)
30 €
Dans la suite de l'exercice, on note x le montant de la hausse proposée du prix du menu (en €) par rapport au prix initial qui était de 20 €. On admet que 0 <= x <= 30
2) a) Exprimer en fonction de x le prix du menu après une hausse de x in
b) Exprimer en fonction de x le nombre de couverts servis après une hausse de x €. c) En déduire le chiffre d'affaires A(x) réalisé après une hausse du prix du menu de x €et montrer qu'il peut
s'exprimer sous la forme :
A(x) = - 10x ^ 2 + 100x + 6000
3) a) Exprimer le coût total de fabrication des menus après une hausse de x €. b) En déduire que le bénéfice B(x) peut s'exprimer sous la forme :
B(x) = - 10(x - 30)(x + 6)
4) Représenter graphiquement la fonction B sur une calculatrice et répondre aux questions suivantes en utilisant cette représentation graphique. a) À quel montant le patron doit-il fixer le prix du menu pour que son bénéfice soit maximal?
b) Quel est ce bénéfice maximal?
c) Quel est alors le nombre de couverts servis?
