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On se donne un polynôme du troisième degré P(x)=ax^3+bx^2+cx+d, on suppose que α est une solution évidente de l’équation
P(x)=0
1/démontrer que pout tout x réel on a P(x)=P(x)-P(α)
2/En déduire que pour tout x réel P(x)-P(α)=a(x^3-α^3 )+b(x^2-α^2 )+c(x-α)
3/Démontrer que pour tout x réel on a x^3-α^3=(x-α)(x^2+αx+α^2)
4/En déduire une factorisation de P(x)-P(α) et donc de P(x)
5/En déduire le résultat général suivant Si P est un polynôme de degré 3, et si α est un réel alors
P(α)=0 si et seulement si P est factorisable par x-α et un polynôme de degré 2
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