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81 On considère la suite définie par
naturel n, 1+1=2u+n-1.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n:
un=2"-n.
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel :
1
un
-
Un-1
2″
2"-1
3. En remarquant qu'on peut alors écrire pour tout entier
naturel n non nul:
2n-1
1
-1
2n-2
=
=
42-1
21
44-1
2⁰
=
ผ
k=0
Un-1-1
2n-2
Un-2-1
2n-3
=
=
+
+
44-1
21-1
n
2"
n-1
2n-1
+
+
t pour tout en
n-2
2n-2
1
2¹
40-1
0
+
20-1 20
En déduire que pour tout entier naturel n non nul:
n-1
k
2k 2n-1
un - 1
'n
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