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Partie A. : Valeurs approchées du nombre d'or
1. Les lapins de Fibonacci
Dans son traité mathématiques, Liber Abaci, le mathématicien Fibonacci, pose le problème suivant :
« Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de l'année si, en commençant avec un couple, chacun des couples produisait chaque mois un nouveau couple lequel deviendrait productif au second mois de son existence? »
• Au départ (génération 1), il y a un unique couple de lapins.
• Ce couple de lapins ne procrée pas le premier mois, mais il engendre chaque mois à partir du deuxième mois un couple de lapins. Chaque couple ainsi engendré se comporte de la même façon que le premier couple : le premier mois après sa naissance, il ne procrée pas, puis à partir du deuxième mois, il engendre chaque mois un nouveau couple.
• Le nombre de couples à la fin de chaque mois constitue les nombres de la suite de Fibonacci :
1-1-2-3-5-8-13
(a) Donner les treize premiers nombres de la suite de Fibonacci.
(b) Calculer les valeurs approchées à 10-3 près des quotients du 11ème + par le 10eme nombre de la suite obtenue au (a), du 12ème par le 11ème et du 13ème par le 12ème
(c) Déterminer l'erreur commise, en valeur absolue, entre le dernier quotient et la valeur exacte du nombre d'or.
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