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Exercice 1:On pose j=-1/2+i*racine**2 de 3/2
1) Montrer que j appartient à U.
2) Calculer j².
3) Montrer que j² +j+1=0.
4) Montrer que j³=1.
5) Montrer que j²=1/j=j (avec une barre sur le dessus)
6) Soient A le point d'affixe 1, B le point d'affixe j et C le point d'affixe j², montrer que le triangle ABC est équilatéral (on donnera aussi la longueur d'un des côtés de ce triangle).
Exercice 2 : Soient z et z' deux nombres complexes quelconques, le but de cet exercice est de
démontrer que |z+z'| <|z|+|z' (inégalité triangulaire).
Dans toute la suite, z et z' seront deux nombres complexes quelconques
1) Montrer que Re(z)=z+z(barre)/2
2) Montrer que Re(z)<=z) et Jm(z)<=z.
3) Exprimer Re(z*z'(barre)) en fonction de z, z' et de leurs conjugués.
4) Montrer que |z+z’|²=z*z(barre)+z*z’(barre)+z(barre)*z’+z'*z’(barre)
5) En déduire que lz+z’|²= |z|²+2*Re(zz'(barre))+|z’|**2
6) Montrer que |z+z’|² <=( |z|+|z' )² puis conclure.
Exercice 3:
1) Soient A et B deux points du plan supposés distincts. Démontrer que :AM/BM=1 <=> AM=BM
2) Déterminer l'ensemble des points M d'affixes z tels que
|z-i|/|z+2-3i|=1 puis tracer cet ensemble dans le plan complexe.
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