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Bilan 6 40min : Un problème agricole Un exploitant agricole dispose d'une parcelle de forme trapézoïdale. Dans cette parcelle, il souhaite délimiter une zone rectangulaire. On modélise la parcelle par un trapèze rectangle ABCD avec AB= 60 m, CD = 20 m et AD = 40 m. On considère un point M mobile sur le segment [AD] et on construit le rectangle AMNP inscrit dans le trapèze ABCD, comme l'indique la figure ci-dessous.
L'objectif de cet exercice est de déterminer : -s'il existe une position de M pour laquelle l'aire de la surface colorée est égale à 800 m². -s'il existe une position de M pour laquelle l'aire colorée est égale à celle du triangle PBN. On note x la longueur AM et A la fonction, qui à x associe l'aire du rectangle AMNP. 1. À quel intervalle la variable x appartient-elle? On note I cet intervalle dans la suite. 2. a. On admet que le triangle BNP est rectangle isocèle en P. Exprimer la longueur AP en fonction de x. b. En déduire que l'aire du rectangle APNM est égale à A(x)=60x-x² (forme 1). c. Justifier que, pour tout réel xel, on a; A(x)=900-(x-30)² (forme 2) 3. Résoudre les deux problèmes posés en introduction en précisant, dans chaque cas, les positions du point M correspondantes. 4. Justifier que, pour tout xel, on a A(x) ≤900. Préciser la valeur de x pour laquelle A(x) = 900.
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