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(Où n est un entier supérieur ou égal à 2).
Enoncé L: (7 points)
Soient deux réels a et b vérifiant 0 < a
On pose D= ((x, t) ER² / as xsts b) et 1 = [a; b).
Soit P une application continue de D dans R telle que: sup (IP(x, t)l, (x, t) ED]
On désigne par B l'ensemble des fonctions numériques bornées sur I.
Pour toute application h de B, on pose: ||hl| - Suplh(x) et Th(x) = f(x) dt.
xei
1. Montrer que: vh E B, The B.
2. Montrer que l'application T:
3. Pour toute application h de B, on pose:
Th est continue de B dans B.
Tºh = h, et pour tout entier n, T+¹h = T(T"h)..
a. Montrer que pour toute application h de B, la série de fonctions (Th) converge
normalement sur /.
b. Soit h E B. Montrer que Eo Th est l'unique élément f de B vérifiant :
f-Tf=h
(NB. La clarté et la lisibilité de la rédaction sont prises en compte)
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