a est un nombre réel non nul. Le but de cet exercice est d'étudier la suite (un) définie par uo = a et pour
tout entier naturel n, un+1 = e
2u,
1.g est la fonction définie sur R par g(x) = e² - e²-x.
a) Pour tout réel x, justifier que g'(x) = (e* - 1)(2e + 1).
b) Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.
c) En remarquant que pour tout entier naturel n, un+1-un= g(u), étudier le sens de variation de la suite (un).
2. Dans cette question, on suppose que a ≤ 0.
a) Justifier que pour tout entier naturel n, U+1=en(en-1).
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u, < 0.
c) Déduire des questions précédentes que la suite (u) est convergente.
d) Dans le cas où a = 0, donner la limite de la suite (un).
3. Dans cette question, on suppose que a > 0.
a) Justifier que pout entier naturel n, ua.
b) Démontrer que pour tout entier naturel n, Un+1-Ung(a).
c) Démontrer par récurrence que pour tout entier n, u,> a+nxg(a).
d) Déterminer la limite de la suite (un).
4. Dans cette question, on prend a = 0,02.
La fonction Seuil ci-contre, écrite en langage Python, a pour paramètre un
réel M> 0 et renvoie le plus petit entier naturel n tel que u, > M.
a) Indiquer ce que cache chacun des cadres colorés.
b) A l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur affichée lorsque M = 60.
2
4
$
4
from math import"
def Seuil (M):
U-0.02
n-0
while
U
n=n+1\
return n