1)
Partie préliminaire (2 points)
Devoir en temps libre 1ère spécialité
보
n
Expliquer pourquoi ce schéma permet de démontrer la formule suivante :
n(n+1)
1+2+3+ ... +n =
2
O
II)
Problème
On considère la construction suivante à l'aide de motifs géométriques composés
uniquement de carrés et des pièces circulaires.
Les 3 premières étapes sont représentées ci-dessous:
22
Motif 1
2010
oo
Motif 2
Pour tout entier naturel n21, on appelle un le nombre de pièces circulaires du motif n.
1) Représenter le motif 4 sur votre copie et donner les valeurs de U₁, U2, U3 et u4.
(2 points)
2) Établir une relation de récurrence entre Un+1 et un. Expliquer la démarche. (2 points)
3) On admet que la suite (un) possède la forme explicite suivante pour
tout entier n strictement positif : un = 1 + 0x4 + 1x4 + 2x4+ ... + (n-1)x4.
Montrer que un = 2n² - 2n + 1. (2 points)
def seuil(..........):
4) Montrer de deux façons différentes que la
suite (un) est croissante pour n≥1. (4 points)
5) Écrire une fonction appelée seuil en Python
qui retourne la valeur de n pour laquelle la valeur
de un a strictement dépassé une certaine valeur A.
Pour cela, recopier et compléter le programme ci-
contre sur votre copie : (3 points)
return(.....
..).
6) Représenter dans un repère orthonormé les 6 premiers termes de la suite (un) en
utilisant des unités adaptées (2 points)
Motif 3
n=0
U=0
while..
n=
7) Quelle limite peut-on conjecture quant à la suite (un)? Expliquer votre démarche.
(1 point)
8) Combien faudra-t-il dessiner de carrés pour réaliser un motif si l'on dispose de 10000
pièces circulaires ? (2 points)