bonjour je n’arrive pas à répondre à cette question de dm pouvez vous m’aidez ? merci


EXERCICE 2 - Probabilités Conditionnelles - 14 points
Problématique :
On cherche à déterminer l'efficacité du Test PCR par des outils mathématiques.

Lire l'article suivant et répondre aux questions afin de conclure sur la problématique générale.
Coronavirus: le test PCR a deux gros défauts
Article du 20/05/2020
Matthieu Balu, journaliste au HuffPost
Pratiquée depuis le début du mois à grande échelle en Allemagne, en Italie ou aux États-Unis, cette méthode de dépistage (test PCR) a pour elle sa simplicité: un coton-tige vient racler la cavité nasale.
Une étude publiée à la mi-mai dans la revue Annals of Interna/Medecine estime le taux de faux négatifs en moyenne à 20% si le patient est testé après 7 jours d'infection (beaucoup plus avant et au-delà), auquel il faut rajouter environ 1% de faux positifs, ces personnes qui se penseront atteintes de la Covid alors qu'elles ne le sont pas.
Des chiffres d'erreur en baisse, mais qui peuvent toujours donner une image faussée de la cartographie du virus: c'est pour cela que le gouvernement, malgré sa confiance affichée, demande que l'on ne soit teste qu'apres 7 jours après avoir été en contact avec une personne qui se serait révélée infectée. C'est à ce moment que le virus est le plus présent de notre corps, le plus détectable par la procédure de test.
Dans toute l'activité, on note respectivement M et T les événements « Être porteur du Covid-19 » et «
Avoir un test positif ».

Question préliminaire: Quels sont les deux gros défauts du test PCR évoqués dans le titre de l'article

Partie 1
Dans cette partie, on suppose que les tests PCR sont effectués sur une population dont le taux de personnes porteuses de la Covid-19 est égal à 3 %.

1) Interpréter à l'aide de probabilités conditionnelles
Les deux taux donnés au début de l'article.

2) Recopier et compléter l'arbre de probabilité.

3) On choisit une personne au hasard. Calculer les probabilités suivantes :

a) La personne a un test positif.
b) Si le test est positif, la personne est porteuse du virus.
c) Si le test est négatif, la personne est saine.

4) Déduire des questions 3b et 3c, dans quel cas, le résultat du test PCR peut être ou ne pas être exploitable.

Partie 2
1) En s'aidant d'un arbre pondéré, prouver que P(T) = 0,79x + 0,01.

2) En déduire que PT(M)=0,8x0,79x+0,01*
Dans cette partie, le taux (en %) de personnes porteuses du virus n'est passupposé connu on le note alorsX.

3) Avec la calculatrice ou Geogebra, tracer la courbe de la fonction f définie sur [0 ; 1] par :
0,8x0,79x+0,01*
À l'aide du graphique affiché, répondre aux questions suivantes :

a) Comment peut-on lire le résultat établi à la question 3b de la partie 1.

b) Que peut-on dire de la probabilité PT (M) en fonction de x. Interpréter.

c) Quel est le taux x, à partir duquel, on a :PT (M) > 0,9 ? Interpréter.