FONCTION EXPONENTIELLE
EXERCICE 1
On considère la fonction / définie pour tout réel x
par :
f(x) = ²¹ - ²
On appelle la fonction dérivée de fet, la courbe
représentative de ƒ dans le plan rapporté à un repère
orthonormal (0, 1, J) d'unité graphique 4 cm.
On remarquera que, pour tout réel x, on a :
e-e = e(e-1)
1. Calculer lim f(x) et lim f(x). Que peut-on en
X-***
déduire pour la courbe , ?
2. a. Calculer f(x) pour tout réel x et étudier son
signe.
b. Calculer (-In 2). On détaillera les calculs.
c. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
3. Déterminer une équation de la tangente à la
courbe, au point d'abscisse 0.
4. Tracer la droite et la courbe.
EXERCICE 2
On considère la fonction / définie sur R par :
f(x)=e-e²-6
On note sa fonction dérivée sur R.
1. a. Calculer f(x) et montrer que l'on a pour tout
nombre réel x:
f(x)=e' (2e - 1)
b. Étudier les variations de la fonction f sur R.
2. a. Calculer la limite de fen-co.
b. Calculer la limite de fen +∞o (on pourra mettre
en facteur le nombre e dans l'expression de f(x).
3. a. Dresser le tableau de variations de la fonction f
en précisant les limites de f.
b. Écrire le calcul qui montre que le minimum de
-25
la fonction / sur R est égal à
4
c. D'après le tableau de variation de la fonction ,
quel est le nombre de solutions sur R de l'équation
(E₁) suivante : (E₂₁):/(x) = 0.
2. Étude des variations de la fonction /
a. Montrer que, pour tout nombre réel x,
f(x) = 2e²-1
EXERCICE 3
Soit la fonction / définie sur l'ensemble des nombres
réels R par :
f(x)=e" +2r-3.
Soit (e) la courbe représentative de dans le plan
muni d'un repère orthogonal (O, I, J) d'unités
graphiques 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
1. Limites aux bornes
a. Déterminer la limite de la fonction / en +00.
b. Déterminer la limite de la fonction/en-00.
On pourra établir au préalable que pour tout
nombre réel x, f(x) = e(1 + 2xe - 3e)
où est la dérivée de la fonction f
b. Résoudre dans R l'équation d'inconnuex:
f(x) = 0
c. Etudier le signe de la dérivée de la fonction f
sur R.
d. Etablir le tableau de variations de la fonction f.
e. Calculer (1) et déterminer le signe de f(x) pour
tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0; 1].
3. Tracer la droite (d) et la courbe () dans le repère
(O, I, J).
EXERCICE 4
Partie A
On note g la fonction définie sur l'ensemble R des
nombres réels par :
g(x) = e(-3x + 1) + 1
1. Calculer la dérivée g' de la fonction g.
2. Étudier le sens de variation de la fonction g sur R,
et dresser le tableau de variation (On ne demande
pas les limites de g en +∞o et en -00).
et en déduire le signe de la
3. Calculer g
fonction g sur R.
Partie B
On considère maintenant la fonction / définie sur
l'ensemble R des nombres réels par :
f(x) = e(3x + 2) + x
On note sa courbe représentative dans le repère
orthogonal (O, I, 3) d'unités graphiques : 3 cm en
abscisse et 1 cm en ordonnée).
1. Étude des limites.
a. Déterminer la limite de fen +00.
b. Déterminer la limite de f en -00.
2. Étude des variations de f.
a. Calculer la dérivée
démontrer que, pour tout réel x:/(x) = g(x)
b. En déduire le tableau de variations de la
fonction f.
3. Déterminer l'abscisse du point A de la courbe
où la tangente est parallèle à la droite.
et
4. Tracer, dans le repère (O, I, J), les droites co
7. Placer le point A puis tracer la courbe.
de la fonction , et