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On dispose d'un socle sur lequel sont plantés trois tiges
verticales. On empile plusieurs disques troués sur la
première tige, le plus large reposant sur la base et les
autres, de plus en plus étroit, superposés jusqu'au
sommet.
Le jeu consiste à déplacer tous les disques d'une tige sur
une autre en respectant les règles suivantes :
• On ne déplace qu'un disque à la fois ;
• On ne dépose jamais un disque sur un disque plus
petit.
Pour tout entier naturel n non nul, on note un le
nombre minimum de déplacements nécessaires pour
transporter une tour de n étages d'une tige à l'autre.
1. Déterminer и₁ puis u₂.
2. Montrer que u3 = 7.
3. Exprimer Un+1 en fonction de un. (On remarquera
que, pour pouvoir déplacer le disque le plus large, il
faut avoir reconstitué une tour avec les autres
disques sur une des tiges).
4. On pose, pour tout entier n ≥ 1, Vn = Un + 1.
a) Montrer que pour tout entier n ≥ 1, Vn+1 = 2vn.
b) En déduire la nature de la suite (vn). Préciser la
raison et le premier terme.
c) Exprimer v puis un en fonction de n.
5. On suppose qu'il faut une seconde pour déplacer un
disque. Combien de temps le jeu dure-t-il avec une
tour de 10 disques ? et avec une tour de 64
disques ?
