Une entreprise fabrique des paniers cylindriques en
osier sans couvercle.
Elle étudie un nouveau modèle de panier devant
respecter les contraintes suivantes :
- le volume doit être de 75 litres ;
- le diamètre de la base doit être compris entre
30 cm et 80 cm.
Une étude est faite pour minimiser la quantité
d'osier utilisée pour la fabrication d'un panier.
h(x)
On note x le rayon de la base (en cm) et h(x) la

hauteur du panier (en cm).
1. a. Justifier que x appartient à l'intervalle
[15:40].
b. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle
[15:40] : h(x) =
75000
πχ᾽

2. Soit S(x) l'aire de la surface (en cm²) d'osier
nécessaire a la fabrication d'un panier.

a. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle
[15:40]: S(x)=x² + 150000
X

b. Afficher, sur une calculatrice, la courbe représen-
tant la fonction S sur l'intervalle [15; 40] et tracer
l'allure de la courbe obtenue sur la copie en préci-
sant la fenêtre d'affichage utilisée.

c. Dresser le tableau de variations de la fonction S.

3. a. À l'aide de la calculatrice, en expliquant la
méthode utilisée, préciser pour quelle valeur de x,
arrondie au dixième, la fonction S admet un
minimum.

b. Déterminer les dimensions (au millimètre près)
du panier qui a la plus petite surface d'osier.