Exercice n°1
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques
que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. On note l’évènement
« le voyageur fait sonner le portique » et l’évènement « le voyageur porte un objets
métallique ». On considère qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
On admet que :
-lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le
portique sonne est égale à 0,98 ;
-lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que
portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.
Partie A
1. A l’aide des données de l’énoncé, préciser les valeurs de (), () et
().
2. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
3. Montrer que () = 0,02192.
4. En déduire que la probabilité qu’un voyage porte un objet métallique sachant
qu’il a fait sonner le portique. On arrondira le résultat à 10−3
.
Partie B
80 personnes s’apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que, pour
chaque personne, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,02192. Soit la
variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique parmi
les 80 personnes de ce groupe.
1. Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer l’espérance de et interpréter le résultat.
3. Sans justifier, donner la valeur arrondie à 10−3 de :
a. La probabilité qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le
portique ;
b. La probabilité qu’au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.
4. a. Donner la valeur du plus petit entier tel que ( ≤ ) ≥ 0,9.
b. Interpréter le résultat obtenu.
2 sur 2
Exercice n°2
On considère la suite (
) définie par :
+1 = √3 +
1
2
et 0 = −5.
1. Soit la fonction sur [0; 2] par () = √3 +
1
2
.
Calculer ′() puis dresser le tableau de variation de sur [0; 2].
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier ≥ 1: 0 ≤ ≤ +1 ≤ 2.
3. En déduire que (
) converge et déterminer sa limite.
Exercice n°3
Soit la fonction définie sur ℝ par () =
3 − 6 + 2.
1. Montrer que l’équation () = 0 possède au moins une dans l’intervalle
[−10; 10].
2. Montrer que est strictement croissante sur l’intervalle [−3; −2].
3. Montrer que l’équation () = 0 a une unique solution dans [−3; −2].
4. Donner un encadrement de à 0,01 près.
Exercice n°4
On modélise le nombre malade (en milliers) dans un pays lors d’une épidémie, en
fonction du nombre , de jours écoulés depuis l’apparition d’une maladie.
Cette modélisation est donnée par la fonction définie sur [0; 60] par () =
2
−0,1
.
1. Calculer ′() pour tout réel de l’intervalle [0; 60].
2. a. Déterminer le signe de ′() sur [0; 60].
b. Déterminer les variations de la fonction sur [0; 60].
c. Déterminer, au bout de combien de jours, le nombre malades est maximal
puis préciser approximatif le nombre de malades ce jour-là.
3. Démontrer que pour tout réel de [0; 60], ′′() = (0,01
2 − 0,4 + 2)
−0,1
.
4. a. Etudier sur [0; 60], la convexité de la fonction .
c. Justifier que sur [0; 60], la courbe représentative C de la fonction admet
un unique point d’inflexion.
Donner une interprétation dans contexte de l’exercice, de l’abscisse de ce
point d’inflexion.