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Un industriel souhaite fabriquer une boîte sans couvercle à partir d'une plaque de métal de 18 cm de largeur et de 24 cm de longueur. Pour cela, il enlève des carrés dont la longueur du côté mesure x cm aux quatre coins de la pièce de métal et relève ensuite verticalement pour fermer les côtés.
On note V(x) le volume de la boîte obtenue.
1°) Quel est l'ensemble de définition D de la fonction V?
2°) a) Justifier que les dimensions du fond de la boîte sont 24 - 2x et 18 - 2x. b) Démontrer alors que, pour tout x dans D, on a : V(x) = 4x³ - 84x² + 432x.
3º) Déterminer la dérivée de la fonction V.
4°) Etudier les variations de cette fonction V et dresser son tableau de variations.
5°) Répondre alors aux questions suivantes :
Pour quelle(s) valeur(s) de x, la contenance de la boîte est-elle maximale ?
L'industriel peut-il construire ainsi une boîte dont la contenance est supérieure ou égale à 650 cm³ ? Justifier.​


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Sagot :

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