Bonjour, pourrais-je avoir de l’aide ?
Partie A
Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de
la saison précédente que
●
si l'athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90% des cas le jour suivant;
si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70% des cas il ne la franchira pas non plus
le lendemain.
On note pour tout entier naturel n:
Rn l'évènement : « L'athlète réussit à franchir la haie lors de la n-ième séance »,
Pn la probabilité de l'évènement Rn. On considère que po=0,6.
1. Soit n un entier naturel, recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.
Rn+1
Pn
1- Pn
Rn
Rn
..
Rn+1
Rn+1
Rn+1
2. Justifier en vous aidant de l'arbre que pour tout entier naturel n on a :
Pn+1=0,6 pn+0,3
Partie B: Première méthode d'étude de cette suite
3. On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par un = Pn-0,75.
a. Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le
premier terme.
b. Démontrer que, pour tout entier n naturel n:
Pn=0,75-0, 15 × 0,6".
c. En déduire que la suite (pn) est convergente et déterminer sa limite .
d. Interpréter la valeur de dans le cadre de l'exercice.
Partie B (bis): Deuxième méthode d'étude de cette suite
Dans cette partie, vous ne pouvez pas utiliser les réponses de la partie B.
4. a) Démontrer par récurrence que la suite (Pn) est croissante et majorée par 0,8.
b) En déduire que la suite (P₁) est convergente et déterminer sa limite 1.