Une ruche est initialement composée de 50 000 abeilles, dont une reine. On constate que la population de cette ruche diminue de 8% chaque année à cause de la pollution et du bruit.

La feuille de calcul ci-dessous nous donne l’évolution du nombre d’abeilles dans cette ruche. Le rang 0 correspond à l’année 2019.


QUESTION

1a) Justifier la valeur obtenue dans la cellule .

2b) Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C2 qui, recopié vers la droite, permet de calculer les valeurs de la ligne 2 ?

2a) On note un le nombre d’abeilles au bout de n années. On a donc

u0= 50 00. Justifier que la suite (un) est géométrique.

b) Exprimer un + 1 en fonction de un.

un + 1 =

c) En déduire une formule permettant de calculer un en fonction de n. Puis calculer u19 et u20.

un = u19 = u20 =

d) Une ruche produit du miel sur au moins 10 000 abeilles l’habitent. En déduire au bout de combien d’année la ruche ne produira plus de miel.



3 On s’intéresse maintenant à une ruche qui n’est ni soumise au bruit, ni à la pollution. Le graphique ci-joint représente les premières valeurs vn, donnant le nombre d’abeilles de cette ruche au bout de n années.

a) Pourquoi peut on conjecturer que la suite (vn) est une suite arithmétique ?

b) Sachant que v0 = 7100 et v1 = 7450, déterminer la raison de la suite (vn).

r =

c) Exprimer vn + 1 en fonction de vn.

vn + 1 =

d) En déduire une formule permettant de calculer vn en fonction de n.

vn =

e) On rappelle qu’une ruche ne produit de miel que si elle est habitée ar plus de 10 000 abeilles. A partir de combien d’années cette ruche produira-t-elle du miel ? Justifier.