Si E' n'est pas vide, on associe à chaque élément e' de E' l'application (pe' de A dans A définie par : Vx EA, pe'(x) = e'x -x + e'. Montrer que pe'(A) C E' et que la restriction de pe à E' est injective. Etudier le cas où E' est réduit à un singleton. Dans le cas où E' possède au moins deux éléments, montrer qu'il existe un idéal bilatère I tel que E' soit une classe modulo I. 2. On suppose que A possède un élément neutre e. A tout élément a E A, associe les deux ensembles éventuellement vides suivants : Sa' = {x' E A; ax' = e) et Sa" = {x" E A; x"a = e}. Si Sa' n'est pas vide, on associe à chaque éléments de S'a, l'applications de S'a dans A définie par : Vx E Sa', 4s(x) = xa-e + s. Montrer que Us(S'a) C S'a et que us est injective. Etudier le cas où S'a est réduit à un singleton. Dans le cas où S'a contient au moins deux éléments, montrer qu'il est infini. Que deviennent les résultats précédents pour un anneau intègre ? Exercice 3 Soit K un corps commutatif. 1. Montrer que (X) est un idéal maximal de K[X] et que IK[X] est un anneau intègre. 2. Montrer qu'un idéal P = (X) de K[X, Y] est premier mais pas maximal.​