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L'Institut national de prévention et d'éducation pour la santé (INPES) a pour mission de
mettre en oeuvre, entre autres, des moyens de prévention et d'éducation pour la santé
publique.
Pour lutter contre le tabagisme, l'INPES étudie la consommation de tabac au fil des ans.
Une étude statistique montre qu'on peut modéliser le nombre moyen de cigarettes
manufacturées par personne et par jour pour les années de 1900 à 2000 à l'aide de la
fonction définie sur [0; 100] par :
f(t)= -0,00004t³ +0,0045t² +0,6
où t est le temps écoulé en années depuis le 1er janvier 1900. Par exemple, le nombre
moyen de cigarettes manufacturées par personne et par jour en 1995 est donné par f (95).
1. On note f' la fonction dérivée de la fonction / sur l'intervalle [0; 100].
a. Calculer f'(t) pour te [0; 100].
b. Démontrer que, pour tout réel t de l'intervalle [0; 100] on a :
f'(t)=0,00012t(t - 75)
2.
a. Étudier le signe de f'(t) sur l'intervalle [0; 100].
b. Construire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [0; 100].
3. Un responsable annonce que depuis 1990, le nombre moyen de cigarettes manufacturées
par personne et par jour est passé en-dessous de 8. L'annonce de ce responsable est-elle
vraie ?
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