À rendre lundi 26 Février à 10h10.
Exercice 1
DM D'HIVER
1-G1 LYCÉE JEAN MACÉ 19 FÉVRIER 2024
Partie I
Soit fo 0, f1 = 1 et pour tout entier naturel n,
fn+2=fn+1+fn
1. Calculer tous les termes du rang 2 au rang 12 de la suite (fn)neN.
Pour tout entier n > 1 on pose qn=
2. Calculer tous les termes du rang 1 au rang 11 de la suite (qn)nEN". Que remarquez-vous?
Partie II
Soit q un nombre réel non nul. Soit uo = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = qun. On suppose que (un)nEN vérifie pour tout
entier naturel n,
(En) Un+2 Un+1 + Un
1. Donner l'équation (Eo) que vérifient les termes uo, U1, U2.
2. En déduire que q doit être solution de l'équation
x² = x+1.
3.
a) Résoudre l'équation précédente. On note
la solution positive et la solution négative.
b) Donner les formules exactes pour et puis des valeurs approchées au centième près.
c) Comparez à qui de la suite de la question 2 de la partie I.
4. Montrer que la suite définie pour tout entier n par un = " et la suite définie pour tout entier n par un " vérifient
toutes les deux toutes les équations (En)nEN.
Partie III
Soit (an)nEN, (bn)neN deux suites, a et 3 deux nombres réels et on pose (Cn)neN la suite définie pour tout n = N par
Cnaan+Bbn.
1. Montrer que si (an)neN et (bn)nEN vérifient toutes les équations (En)neN alors la suite (cn)nen aussi.
2. Trouver des nombres réels a et ẞ de sorte que la suite (fn)neN de la partie I s'écrive pour tout rang n comme
fn=α4" + 3"
(Indice Commencer par trouver a et 3 de sorte à retrouver fo, fi et f2 puis se rassurer que tous les termes suivants
correspondent.)
3. Calculer f100.