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Dans la trilogie de J.R.R. Tolkien, « Le Seigneur des Anneaux », les Elfes sont des êtres immortels dont la précision et la rapidité au tir à l’arc sont considérées comme redoutables. Parmi eux, Legolas, le représentant des Elfes lors de la formation de la Communauté de l’Anneau, dans le 1er ouvrage de la trilogie, est particulièrement connu : il nous vient en tête la brillante adaptation de la trilogie au cinéma par Peter Jackson, et l’interprétation de Legolas par l’acteur Orlando Bloom. Dans ce problème, on se propose de modéliser les flèches envoyées par Legolas sur des ennemis en utilisant les vecteurs.
On se place dans tout le problème dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre. On pourra, si besoin est, utiliser le repère en Annexe 1.
On imagine que Legolas est situé au point L de coordonnées (0; 2). Legolas affronte 3 Orques, des Uruk-Hai, qui sont placés aux points U1(6 ; 5), U2(-3 ; -0,25) et U3(-3 ; 6). On assimile la flèche envoyée par Legolas (qu’on appellera simplement « la flèche de Legolas ») sur un ennemi par un vecteur de norme 1, partant de Legolas, dirigé et pointé vers l’ennemi.
1) Legolas vise d’abord l’Orque situé en U1.
a) Déterminer les coordonnées du vecteur LU1 .
b) Quelle est la distance de Legolas à l’Orque situé en U1 (arrondir au dixième de mètre près)?
c) En appliquant un principe de proportionnalité, en déduire les coordonnées de u , qui est la flèche de Legolas dans ce cas.
2) Legolas se tourne maintenant vers l’Orque situé en U2.
a) Montrer que le vecteur v de coordonnées (-4/5 ; -3/5) est de norme 1.
b) Démontrer que v et LU2 sont colinéaires.
c) En déduire que v est la flèche de Legolas qui lui permet de viser l’Orque situé en U2.
d) Déterminer l’angle, en radians, de la rotation faite par Legolas pour passer de la position de la question 1) à celle de la question 2) (arrondir au centième de radian près).
3) A partir de la position de la question 2), Legolas tourne de π/2 radians dans le sens horaire.
a) Démontrer que v et LU3 sont orthogonaux. En déduire que la flèche de Legolas est bien dans la direction de l’Orque situé en U3.
b) Donner alors les coordonnées de w, la flèche de Legolas dans cette situation.
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