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Exercice 3: Soit un segment [AB] de longueur 8 et le demi-cercle (C) de diamètre
[AB] de centre O.
M est un point variable du demi-cercle (C) et H le pied de la hauteur
issue de M dans le triangle AOM.
On s'intéresse à l'aire du triangle AOM et on souhaite savoir où placer
le point M pour que cette aire soit maximale.
On note x la longueur AH et f(x) l'aire du triangle AOM.
1. Préciser les valeurs possibles pour x et en déduire l'ensemble de définition de f.
2. a. Exprimer l'aire du triangle AOM en fonction de AO et MH.
b. Exprimer la longueur OH en fonction de x en distinguant deux cas :
i. x appartient à [0;4] ii. x appartient à [4;8].
c. À l'aide du théorème de Pythagore dans le triangle MHO, exprimer MH2
en fonction de x.
d. En déduire l'expression de f(x).
3. Soit la fonction g définie sur R par g(x)=16- (4- x)².
a. Calculer l'image par g de 4.
b. Exprimer g(x)- g (4) en fonction de x.
- En déduire le signe de g(x)- g (4) puis le maximum de g sur R.
4. En justifiant correctement votre réponse, répondre au problème posé.
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