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Bonjour,
Voici un exercice de terminale, sur les nombres complexes où j'ai besoin d'aide.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v), (unités 2cm).
1) Placer A et B les points d'affixes -i et 3i
Et soit f la transformation qui, à tout point M du plan, d'affixe z, M différent de A, associe le point M' d'affixe z' telle que z'=(iz+3)/(z+i)
2)a) Résoudre l'équation f(z) = z
b) Donner les formes trigonométrique et exponentielle des éventuelles solutions de l'équation f(z)=z ci-dessus.
c) En déduire que f admet deux points invariants appartenant au cercle (C) de diamètre [AB] et placer ces 2 points sur un graphique.
d) On note C le point d'affixe c=-2+i, montrer que C', image de C par f, est sur l'axe des abscisses.
3) Pour tout z différent de -i, on considère le nombre complexe w=(z-3i)/(z+1)
a) Montrer que pour tout z différent de -i, on a z'=i*w.
b) En déduire que pour tout point M différent de A et B, arg(z')=(MA,MB) + pi/2 à 2 pi près (MA et MB en vecteurs comme u, v )
c) En déduire l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit imaginaire pur.
4)a) Montrer que pour z différent de -i, on a Iz+iI*Iz'-iI=4 (exprimer z'-i en fonction de z)
b) En déduire que si M(z) appartient au cercle de centre A et de rayon 2 alors M'(z') appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
Pas de problème pour les questions 1) + 2) +3)a) + 4)a)
J'ai fait les questions 3)b) et c) mais je ne suis pas sûr. Par contre je bloque pour la 3)d) et la 4)b)
Voici mes réponses pour les 3)b) et c):
3)b) arg(z')=arg(i*w) = arg(i) + arg(w) + 2kπ (k∈Z) = arg(zE)+arg(w)+2kπ = (u;OE)+arg(w)+2kπ = (π/2)+arg(w)+2kπ
Or, arg(w)=arg[(z-3i)/(z+i)] = arg(z-3i)-arg(z+i)+2k'π (k'∈Z)
arg(w) = arg(z-zB)-arg(z-zA)+2k'π = (u;BM)+(u;MA)+2k'π = (MA;MB)+2k'π
Donc arg(z')=(π/2)+(MA;MB)+2k'π = (MA;MB)+(π/2)+2Kπ (K=k+k' ∈Z)
c) z' est imaginaire pur ⇔ arg z' = π/2 ou - π/2
DOnc (MA; MB)+π/2+2Kπ = π/2 ou -π/2 ⇔ (MA;MB)+2Kπ = 0 ou -π
* Si (MA;MB)+2Kπ = 0 alors M se trouve sur l'axe des ordonnées avec M ∉ [AB]
* Si (MA;MB)+2Kπ = -π alors M se trouve sur l'axe des ordonnées avec M∈[AB]
On en conclut que l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit imaginaire pur est l'axe des ordonnées avec A et B exclus
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