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II La série harmonique converge-t-elle ?
1. Démontrer que, VxE]0; +00 [, ln(1+x)≤x
2. A l'aide de la calculatrice, calculer les termes H₁, H₂ et H3.
3. Écrire un algorithme qui permette de calculer H, pour un n donné.
Émettre une conjecture sur le comportement en +∞o de la série harmonique.
4. En appliquant l'inégalité du 1. (en remplaçant x par une quantité dépendant de k), montrer
que :
1
Vk≥1, In(k+1) In(k) ≤
k
ln(n+1)≤ Hn
5. En déduire que: Vn≥1,
6. La série harmonique converge-t-elle ? Justifier à partir de la question précédente.
III La constante y d'Euler
On va étudier les suites définies pour tout n≥1 dont les termes généraux sont les suivants
un
Hn-In(n)
1
et
Un = Un-
n
En particulier, on va établir que (un) et (Un) forment un couple de suites adjacentes i.e. elles vérifient
les conditions:
1. (un) est décroissante et (Un) est croissante.
2. Vn≥1, Un ≤un.
3. (un Un) Converge vers 0
Un théorème (hors programme) nous dit que sous ces trois conditions, (un) et (Un) convergent vers
une limite commune.
Si quelqu’un peut m’aider
