Une entreprise fabrique et vend x tonnes d'un certain produit par jour, x étant compris entre 10 et
100. Elle doit assumer des charges représentant un coût total quotidien dont le montant en centaines d'euros est donné par C(x) = 0,2x2 + 8x + 500.
Partie A
Le coût moyen unitaire Cy de fabrication d'une tonne de produit est exprimé en centaines d'euros et est égal, pour tout réel x de l'intervalle / = [10; 100] à : 1. Justifier que la fonction Cm est dérivable sur 1, et que pour tout réel x de 1, Cm (x) = 0,2x2 - 500
x2
2. En déduire la quantité de produit fabriqué quotidiennement pour laquelle le coût moyen unitaire est minimale. 1. Le prix de vente d'une tonne de produit dépend de la quantité x produite et s'exprime, en centaines d'euros, par la relation : p(x) = 62 -—
a) Déterminer la recette totale obtenue avec une production et une vente de 40 tonnes de produit.
b) Déterminer en fonction de la quantité x produite et vendue le montant de la recette totale R(x).

Le bénéfice B, en centaines d'euros, réalisé par l'entreprise pour la vente de x tonnes de produit est égal, pour tout réel
x de l, à : B(x) = R(x) - C(x).
a) Montrer qu'alors B est la fonction définie sur l par
B(x) =- 0,45x7 +54x-500.
b) Combien de tonnes l'entreprise doit produire et vendre afin d'obtenir un bénéfice maximum ? Donner le montant de ce bénéfice.