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Exercice 6 Lunules d'Hippocrate
Partie A. On considère, dans le plan muni d'un repère
orthonormé, la droite d d'équation:
-2x+y-14=0
1. a. Montrer que les points A(-7:0) et C(-5:4)
appartiennent à d.
b. Soit d' la droite perpendiculaire à d passant par C.
Déterminer une équation de la droite d'.
c. Calculer les coordonnées du point B intersection de
la droite d' avec l'axe des abscisses.
2. On considère le triangle ABC rectangle en C défini
par les points ci-dessus.
a. Déterminer une équation cartésienne du cercle Co
circonscrit au triangle ABC.
b. On considère le cercle ', d'équation:
x²+y2+2x-4y-15=0
Retrouver son centre et son rayon. En déduire une
équation de €, sous la forme (x-a)²+(y-ẞ)²= r².
On admet que le cercle ₂ d'équation:
(x+6)²+(y-2)²=5
est le cercle de diamètre [AC].
Partie B. PYTHON
Une lunule est une portion de surface délimitée par
deux cercles non concentriques de rayons différents.
Elle a la forme d'un croissant.
A
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B
Une propriété connue depuis l'Antiquité permet de
mettre en relation l'aire 4 d'un triangle ABC rec-
tangle en B et l'aire des lunules Let L₂ générées par
le cercle circonscrit au triangle et les cercles, et
2 de diamètres [BC] et [AB]. Cette propriété
s'exprime par l'égalité :
A=A(L)+A(L)
On souhaite vérifier cette propriété dans le cas parti-
culier du triangle ABC étudié dans la partie A. à l'aide
d'un programme Python.
1. Tester et décrire l'objectif de la fonction dans
cercle2(x,y) ci-dessous.
def dans cercle2(x,y):
dedans-False
if (x+6)**2+(y-2)**2<=5:
dedans True
return dedans
2. Construire des fonctions similaires pour tester si un
point de coordonnées (x;y) passées en paramètre
est à l'intérieur du cercle (resp.).
3. On remarque que la figure précédente est inscrite
dans un carré de côté 13.
On décide de lancer aléatoirement 100 000 points
dans ce carré et de compter la proportion de ceux qui
sont tombés dans les lunules Let L₂.
сво
C'
a. La bibliothèque random contient une fonction
uniform qui génère des nombres réels aléatoires
dans un intervalle. Expliquer pourquoi les instructions
ci-dessous sont nécessaires à la simulation.
from random import uniform
x_temp,y_temp-uniform(-9,4), uniform(-6,7)
b. Terminer le programme.
c. La propriété semble-elle vérifiée ?
4. À l'aide du théorème de Pythagore, démontrer
cette propriété dans le cas général.