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Bonjour, j’aurais besoin d’aide pour cet énoncé merci d’avance.

Une boîte contient 6 boules rouges et n boules blanches. Un jeu consiste à tirer successivement, et sans remise,
deux boules de la boîte. Si les deux boules ont la même couleur, le joueur gagne 1 €, si elles sont de couleurs
différentes, le joueur perd 1 €.
1) Dans cette question, on suppose n = 2.
a) Faire un arbre pondéré représentant la situation.
b) Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur.
c) On note X la variable aléatoire qui associe le gain algébrique (positif ou négatif) du joueur.
Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique E(X).
d) Le jeu est-il équitable?
2) Dans cette question, l'entier n est quelconque supérieur ou égal à 2.
a) En reprenant les questions précédentes, exprimer l'espérance E(X) en fonction de n.
b) Pour quelle(s) valeur(s) de n le jeu est-il équitable? défavorable au joueur ?


Sagot :

Réponse:

**1) Pour \( n = 2 \)**

a) **Arbre pondéré** :

```

R (6/8)

/ \

R (5/7) B (2/7)

/ \ / \

R (4/6) B (2/6) R (1/6) B (2/6)

```

(R pour rouge et B pour blanc)

b) **Probabilité d'obtenir deux boules de même couleur** :

Probabilité de tirer deux rouges : \( \frac{6}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{30}{56} \)

Probabilité de tirer deux blancs : \( \frac{2}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{2}{56} \)

Probabilité totale : \( \frac{30}{56} + \frac{2}{56} = \frac{32}{56} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \)

c) **Loi de probabilité de X** :

X prend la valeur +1 avec une probabilité de \( \frac{4}{7} \)

X prend la valeur -1 avec une probabilité de \( 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7} \)

\( E(X) = (1 \times \frac{4}{7}) + (-1 \times \frac{3}{7}) \)

\( E(X) = \frac{4}{7} - \frac{3}{7} = \frac{1}{7} \)

d) **Le jeu est-il équitable ?**

Un jeu est équitable si son espérance mathématique est nulle. Ici, \( E(X) = \frac{1}{7} \) n'est pas nul, donc le jeu n'est pas équitable.

**2) Pour \( n \geq 2 \)**

a) **Espérance \( E(X) \) en fonction de n** :

Probabilité de tirer deux rouges : \( \frac{6}{n+6} \times \frac{5}{n+5} \)

Probabilité de tirer deux blancs : \( \frac{n}{n+6} \times \frac{n-1}{n+5} \)

Espérance \( E(X) \) :

\[ E(X) = (1 \times \frac{6}{n+6} \times \frac{5}{n+5}) + (-1 \times \frac{n}{n+6} \times \frac{n-1}{n+5}) \]

b) **Pour quelle(s) valeur(s) de n le jeu est-il équitable ?**

Pour que le jeu soit équitable, \( E(X) \) doit être égal à 0.

\[ \frac{30}{(n+6)(n+5)} - \frac{n(n-1)}{(n+6)(n+5)} = 0 \]

En résolvant cette équation, on trouve la valeur de n pour laquelle le jeu est équitable. Si \( E(X) \) est positif, le jeu est défavorable au joueur.

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