Pourriez vous m’aider je dois rendre ce dm dans 2 jours et je n’arrive pas, merci d’avance.
On partage un triangle équilatéral gris, de 10 cm de côté, en quatre
triangles équilatéraux en traçant les segments joignant les milieux
des côtés de ce triangle. On blanchit le triangle central.
Chaque petit triangle gris est alors partagé en quatre triangles selon
le même procédé et on blanchit les triangles centraux.
Ainsi de suite, on poursuit la construction.
A l’étape n, où n est un entier non nul, on note :
• un le nombre de nouveaux triangles blanchit;
• pn le périmètre d’un nouveau triangle blanchit;
• an l’aire d’un triangle blanchit.
On rappelle que la hauteur d’un triangle équilatéral de côté c est égale à c √3 /2
PARTIE A : étude d’un nouveau triangle blanchi
1. Déterminer u1, p1 et a1. Mo 2
2. Comment obtenir u2, p2 et a2 à partir de u1, p1 et a1 ? puis u ₃, p3 et a3 à partir de u2, p2 et a2 ? Ca 2
3. Pour tout entier n⩾1, exprimer un+1 en fonction de un, puis pn+1 en fonction de pn et enfin an+1 en
fonction de an.
4. Déterminer la nature de chacune des suites (un), ( pn) et (an). Mo 0,5
5. En déduire un, pn et an en fonction de n.
PARTIE B : somme de périmètres
Pour tout entier n⩾1, on note Sn la somme des périmètres des nouveaux triangles blanchis au cours de l’étape n.
6. Exprimer Sn en fonction de un et pn.
7. Vérifier que, pour tout entier n⩾1, on a Sn
=10×1,5n
8. A l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle étape n la somme Sn dépasse 1 m, puis 10 km. Re 1
9. A l’aide de la calculatrice, conjecturer les limites éventuelles des suites (un), ( pn) et (an)
PARTIE C : somme des aires
Pour tout entier n⩾1, on note S'
n la somme des aires des nouveaux triangles blanchis au cours de l’étape n.
10. Montrer que, pour tout entier n⩾1, on a S'n=25√3/4 ×0,75n−1
11. Quelle est la nature de la suite (S'n) ?
12. Commenter les limites des suites (Sn) et (S'n).
13. Pour tout entier n⩾1, on note Tn la somme totale des aires de tous les triangles blanchis au cours des n
étapes. Intuitivement, vers quelle valeur tend la suite (Tn) ?
14. Montrer que, pour tout entier n⩾1, on a Tn
=25√3(1−0,75n).
15. A l’aide de la calculatrice, retrouver la conjecture de la question 13.