Exercice 8**: Soit f la fonction de deux variables définie sur R² par
f(x,y) = x²+2y2-2xy - x.
1. Convexité de f
(a) Calculer les dérivées partielles premières et secondes de f.
(b) Écrire la matrice hessienne et calculer le-hessien de f.
(c) En déduire que f est convexe sur R².
2. Optimisation sans contrainte
(a) Déterminer les extrema de f sur R².
(b) Préciser la nature des extrema.
Geter minant
2 inconnus
3. Optimisation avec contrainte: on souhaite résoudre le problème d'optimisation
suivant
Optimiser f(x, y) = x² + 2y
(P) { =
2y2-2xy-x
sous la contrainte x - 2y = 1
(a) Donner le lagrangien associé à (P) et déterminer le(s) point(s)
critique(s).
(b) Préciser la nature des extrema.
Avec plus d’explications pour tout les calculs