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On considère la fonction F définie sur [1;+] par F(x) = 1/x ∫ f(t) dt
1. Déterminer le sens de variation de F sur [1;+]
2. a) démontrer que pour tout réel t >= 1, 0 <= f(t )<= ln(t) / t^2
b) Pour tout réel x>= 1, on pose I(x) = 1/x ∫ f(ln(t)/t^2) dt
à l'aide d'une intégration par parties, exprime I(x) en fonction de x
c) Déduire ce qui précède que pour tout réel x>=1, 0 <= F(x) <= 1 - 1/(ln(x) - 1/x
d) On admet que la limite de la fonction F en + l'infini est un réel L. Déterminer un encadrement de L
3. Démontrer que F(alpha) <= 0.15 où alpha est le réel défini dans la partie A et interpréter graphiquement ce résultat
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