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Partie A
On considère la fonction f définie par :
f(x)=x-In(1 + x)
1. Justifier que la fonction f est définie sur l'intervalle ]-1; +∞[.
2. On admet que la fonction f est dérivable sur ]-1; +∞[.
Déterminer l'expression de sa fonction dérivée f'.
3. a. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]-1; +∞[.
b. En déduire le signe de la fonction f sur l'intervalle ]-1; +∞[.
4. a. Montrer que, pour tout x appartenant à l'intervalle ]-1; +∞[, on a :
f(x) = In (e^x/1+x).
b. En déduire la limite en +∞ de la fonction f.
Partie B
On considère la suite (un) définie par u(0) = 10 et, pour tout entier naturel n,
Un+1 = un-In(1 + un).
On admet que la suite (un) est bien définie.
1. Donner la valeur arrondie au millième de u₁.
2. En utilisant la question 3.a. de la partie A, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a un ≥ 0.
3. Démontrer que la suite (un) est décroissante.
4. Déduire des questions précédentes que la suite (un) converge.
5. Déterminer la limite de la suite (un).
