135 Une invasion de lapins
On étudie l'évolution d'une population de lapins dans une île
où les lapins n'ont pas de prédateurs. On note g(r) le nombre
de milliers de lapins à l'instant r (exprimé en années) et on
définit ainsi une fonction g sur l'intervalle [0; +[.
On prend comme hypothèse que la «< vitesse de croissance>>
g'(t) est proportionnelle à g(r) à tout instant r. Les observa-
tions faites conduisent à considérer que g'=0,34g.
1. On cherche à déterminer les solutions de l'équation (E):
g=0,34 g, où l'inconnue est g.
Montrer que les fonctions g, définies sur [0; +[ par
g(t)=Ce034, où Cest un réel, sont solutions de l'équation (E).
2. Soit g une fonction dérivable sur [0; +[et h la fonction
définie sur [0; +[ par h(t)=e-0.341xg(t).
a. Calculer h'(t) à l'aide de g et g'.
b. En déduire que si la fonction g est solution de (E) alors,
pour tout réel r de [0; +[, e-0.34 x g(t)= C avec C un réel.
c. Montrer que les fonctions g, définies sur [0; +[ par
g(t)=Ce034, où C est un réel, sont les seules solutions de
l'équation (E).
3. En 1859, le Britannique Thomas Austin, a importé en
Australie 12 couples de lapins de garenne. On suppose
que la population de lapins s'est développée en suivant le
modèle décrit ci-dessus.
a. Déterminer l'expression de la fonction g.
b. Déterminer en quelle année le nombre de lapins a pour
la première fois dépassé 600 millions.
c. Sans les mesures prises pour freiner cette évolution,
combien y aurait-il de lapins en Australie aujourd'hui ?