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Exercice 1:
Dans cet exercice a et b désignent des entiers strictement positifs.
1. a. Démontrer que s'il existe deux entiers relatifs a et v tels que au+bv-1 alors les nombres a et b sont
premiers entre eux.
b. En déduire que si (a²+ab-2)-1 alors a et b sont premiers entre eux.
2. On se propose de déterminer tous les couples d'entiers strictement positifs (a; b) tels que
(a+ab-2)-1. Un tel couple sera appelé solution.
a. Déterminer a lorsque a = b.
b. Vérifier que (1; 1), (2; 3) et (5; 8) sont trois solutions particulières.
c. Montrer que si (a; b) est solution et si a
3. a. Montrer que si (x; y) est une solution différente de (1; 1) alors (y-x; x) et (y;y+x) sont aussi des
solutions.
b. Déduire de 2. b. trois nouvelles solutions.
4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (4) définie par a=a₁ =1 et pour tout
entier n, n≥0, +2 = +
Démontrer que pour tout entier naturel n≥0, (a; 4) est solution. En déduire que les nombres a, et
cont premiers entre eux
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