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Bonsoir j aurez besoin de votre aide pour cette exo merci d avance
Ex 2
Soit U la suite défini par U(0) = -1 et pour tout entier naturel n, U(n+1) = U(n) + n+1
1 a) Calculer U(1) , U(2) ,U(3) et U(4)
b) Cette suite est –elle arithmétique ?géométrique ? Justifier
2) On définit la suite V par V(n) = U(n+1) – U(n) pour tout entier naturel n .
a) Calculer les 4 premiers termes de la suite V.
b) Montrer que V est une suite arithmétique
3 ) a) Calculer V(0) + V(1) +………+ V(n-1) en fonction de n .
B) Exprimer V(0) + V(1) +……….+V(n-1) en fonction de U(n)
C ) En déduire l’expression de U(n) en fonction de n .
Vérifier l’ expression obtenue en calculant U(1),U(2),U(3) et U(4) .

Sagot :

Bonjour/Bonsoir.
1) a) U1= U0  +0+1 = -1+1
U1=0.
U2= U1  +1+1 = 2
U3 = U2  +2+1 =5
U4= U3  + 3+1 = 9
b) On a U(n+1) -Un = n+1 ; cette différence n'est pas une constante; donc la suite (Un) n'est pas arithmétique.
De plus U(n+1)/ Un  n'est pas égale à une constante ; donc Un n'est pas une suite géométrique.
2) Vn = U(n+1)  - Un
a) V0 = U1 - U0 = 0 -(- 1 )=1
V1 = U2-U1 = 2- 0 =2
V2= U3-U2 = 5-2 = 3
V3 = U4 -U3 = 9-5 =4
b) V(n+1) - Vn = [U(n+1) - Un] - [ Un - U(n-1) ] = (n+1) - (n) =1
Donc V(n+1) - Vn = 1; donc Vn est une suite arithmétique de raison 1 et de 1er terme V0=1.
3) V0 +V1 +...................+V(n-1) est la somme Sn des n termes d'une suite arithmétique de raison 1 et de 1er terme V0=1 
Donc Sn = [V0 +V(n-1)](n/2) = (1+n)(n/2)
Donc Sn = n(n+1)/2.
V0 = U1-U0
V1 = U2-U1
V3  =  U3-U2
.          .     .
.          .     .
.          .     .
Vn-1 = Un -U(n-1)
En additionnant membre à membre ses égalités, on va éliminer les opposés et on obtient V0+V1+V2+..............+V(n-1) = Un - U0
Donc Un = V0+V1+V2+.............+V(n-1) + U0
Or V0+V1+.................+V(n-1) = n(n+1)/2
Donc Un = n(n+1)/2  -1.
On vérifie bien que U0 =-1 ; U1 = 0; U2= 2; U3 = 5; U4 = 9.

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