Bonjour Abdellahius
[tex]f(x)= x^{4} + x^{2} -2x+1\\\\f'(x)= 4x^3 + 2x -2[/tex]
a) Etudier les variations de la dérivée f ' revient à étudier le signe de sa dérivée, soit le signe de f ''.
[tex]f''(x)=12x^2+2[/tex]
Or [tex]f''(x)\ \textgreater \ 0[/tex] (car c'est une somme de deux nombres positifs)
D'où f ' est strictement croissante sur R.
b) [tex]f'(0)=-2\ \textless \ 0\ \ et\ \ f'(1)=4\ \textgreater \ 0[/tex]
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une nombre unique [tex]\alpha[/tex] entre 0 et 1 tel que [tex]f'(\alpha)=0[/tex]
c) Par définition de la croissance de f',
[tex]x\ \textless \ \alpha\Longrightarrow f(x)\ \textless \ f(\alpha)\\x\ \textgreater \ \alpha\Longrightarrow f(x)\ \textgreater \ f(\alpha)[/tex]
soit
[tex]\boxed{x\ \textless \ \alpha\Longrightarrow f(x)\ \textless \ 0}\\\\\boxed{\\x\ \textgreater \ \alpha\Longrightarrow f(x)\ \textgreater \ 0}[/tex]
