Exercice 1
1. Forme canonique :
f(x) = 2x²-8x-10
f(x) = 2(x²-4x-5)
or (x-2)² = x²-4x+4 donc x²-4x = (x-2)²-4 d'où
f(x) = 2[(x-2)²-4-5]
f(x) = 2[(x-2)²-9]
f(x) = 2(x-2)²-18
forme factorisée
f(x) = 2x²-8x-10
Δ = b² -4ac
Δ = 64-4*2*-10 (* signifie multiplié par)
Δ = 64-80 = 144
Δ > 0 il existe 2 solutions :
x' = (-b-√Δ)/2a = (8-√144)/4 = (8-12)/4 = -4/4 = -1
x" = (-b+√Δ)/2a = (8+V144)/4 = (8+12)/4 = 20/4 = 5
donc
f(x) = 2(x+1)(x-5)
2. cf fichier joint
3. a. Cela revient à calculer f(x) = 0
On choisit la forme factorisée : f(x) = 2(x+1)(x-5)
2(x+1)(x-5) = 0
x+1 =0 ou x-5 = 0
x = -1 ou x = 5
S = {-1;5}
b. Cela revient à calculer f(0)
On choisit la forme développée : 2x²-8x-10
2*0²-8*0-10 = -10
f(0) = -10
c. Les coordonnées du sommet d'une courbe est donnée par la forme canonique, c'est donc celle que nous allons choisir
f(x) = 2(x-2)²-18
S(2;-18)
d. f(5).
On choisit la forme factorisée car on voit que pour x = 5 et x-5 = 0
donc
f(5) = 0
L'image de 5 par la fonction f est 0
e. Cela revient à calculer f(x) = -5
On choisit la forme développée : 2x²-8x-10
2x²-8x-10 = -5
2x²-8x-10+5 = 0
2x²-8x-5 = 0
Δ = b² -4ac
Δ = 64-4*2*-5 = 64+40 = 104
Δ > 0 il existe 2 solutions :
x' = (-b-√Δ)/2a = (8-√104)/4 = (8-√(26*4))/4 = (8-2√26)/4 = (4-√26)/2 = -0.55
x" = (-b+√Δ)/2a = (8+√104)/4 = (8+√(26*4))/4 = (8+2√26)/4 = (4+√26)/2 = 4.55
Les antécédents de -5 par f sont (4-√26)/2 et (4+√26)/2
Exercice 2
1. f(x) = 2x²-4x-6
Racine Apparente Théorème
x'+x" = -b/a
x'x" = c/a
Il existe une racine évidente qui est -1.
Vérification :
f(-x) = 2(-1)²-4*-1-6 = 2+4-6 = 0
donc x'x" = -6/3 donc
-x" = -3
x" = 3
Voir tableau en fichier joint (ici a= 2 > 0)
g(x) = 4-x² = 2²-x²
On reconnait une identité remarquable de la forme a²-b² = (a-b)(a+b) avec a = 2 et b = x
donc
g(x) = (2-x)(2+x)
2 racines x' = -2 et x" = 2
Voit tableau en fichier joint (ici a=-1 <0)
2. Voir fichier joint f(x) en rouge et g(x) en bleu
3. f(x) = g(x)
2x²-4x-6 = 4-x²
2x²-4x-6 -4 + x² = 0
3x²-4x-10 = 0
Δ = b² -4ac
Δ = 16-4*3*-10 = 16+120 = 136
Δ > 0 il existe 2 solutions :
x' = (-b-√Δ)/2a = (4-√136)/6 = (4-√(34*4))/6 = (4-2√34)/6 = (2-√34)/3 = -1.28
g(x') = 4-((2-√34)/3)² = 4 -(4-4√34+34)/9
g(x') = (36-4+4√34+34)/9 = (-2+4√34)/9 = 2.37
x" = (-b+√Δ)/2a = (4+√136)/6 = (4+√(34*4))/6 = (4+2√34)/6 = (2+√34)/3 = 2.61
g(x") = 4-((2+√34)/3)² = 4-(4+4√34+34)/9 = (36-4-4√34-34)/9
g(x") = (-2-4√34)/9 = -2.81
Les coordonnées des points d'intersection des deux courbes sont :
((2-√34)/3;(-2+4√34)/9 et ((2+√34)/3;(-2-4√34)/9)
Exercice 3
1. D'après le tableau f(x) = 0 pour x1 = -3 et x2 = 2
donc
f(x) = a(x+3)(x-2)
2. f(0) = -1
a(0+3)(0-2) = -1
a*3*-2 = -1
-6a = -1
a = 1/6
donc
f(x) = 1/6 (x+3)(x-2)
L'expression de f(x) est unique
Exercice 4
Élèves qui prennent le train
75% de garçons dans la classe
donc 28*75/100 = 21 garçons
et 28-21 = 7 filles
28 % des filles prennent le train donc
7*28/100 = 1.96 filles
et 50% des garçons donc
21*50/100 = 10.5
au total 10.5+1.96 = 12,46 élèves
soit 12.46/28 = 0.445 soit
44,5 % des élèves de la classe prennent le train régulièrement pour se rendre au lycée.
On aurait pu calculer ce pourcentage sans connaitre les effectifs.
75% de garçons dans la classe donc 100-75 = 25 % de fille
50/100*75/100 + 28/100*25/100 = 0.375 + 0.07 = 0.445
soit 44,5 % le même pourcentage que le calcul avec l'effectif.
Filles qui font de la danse 3.
On pose x le nombre d'élèves dans la classe.
Il y a 0.55x filles (55% de filles)
et 17% de ces filles font de la danse
0.55x*0.17 = 3
0.0935x = 3
x = 3/0.0935
x = 32.08
Il y a 32 élèves dans la classe.
Le
nombre x trouvé est un nombre décimal or il y a un nombre entier
d'élève dans une classe donc les pourcentages donnés sont approchés.
Effectifs d'un établissement scolaire
Le taux d'évolution se calcul en faisant :
(Valeur finale - valeur initiale)/valeur initiale
Taux 2010-2011
100*(1050-948)/948 = 10.76%
Taux 2011-2012
100*(1127-1050)/1050 = 7.33%
Taux 2012-2013
100*(1150-1127)/1127 = 2.046%
Taux 2013-2014
100*(1209-1150)/1150 = 5.13%
Taux 2010-2014
100*(1209-948)/948 = 27.53%
