Bonjour Cfabre1805
1) Graphiquement, nous trouvons que [tex]\lim\limits_{x\to 0,x\ \textgreater \ 0}f(x)=-\infty[/tex]
Calcul de cette limite :
[tex]\lim\limits_{x\to 0,x\ \textgreater \ 0}\ln x=-\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to 0,x\ \textgreater \ 0}(-\ln x)=+\infty\\\\\lim\limits_{x\to 0,x\ \textgreater \ 0}\ln x=-\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to 0,x\ \textgreater \ 0}(2-\ln x)=+\infty[/tex]
[tex]\lim\limits_{x\to 0,x\ \textgreater \ 0}\ln x=-\infty\ \ \ et\ \ \lim\limits_{x\to 0,x\ \textgreater \ 0}(2-\ln x)=+\infty\\\\\Longrightarrow \lim\limits_{x\to 0,x\ \textgreater \ 0}(2-\ln x)\ln x=-\infty[/tex]
[tex]\Longrightarrow \boxed{\lim\limits_{x\to 0,x\ \textgreater \ 0}f(x)=-\infty}[/tex]
2 Dérivée f'(x)
[tex]f'(x)=[(2-\ln x)\ln x]'\\\\f'(x)=(2-\ln x)'\times\ln x+(2-\ln x)\times(\ln x)'\\[/tex]
[tex]f'(x)=(-\dfrac{1}{x})\times\ln x+(2-\ln x)\times\dfrac{1}{x}\\\\[/tex]
[tex]f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{2-\ln x}{x}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-\ln x+2-\ln x}{x}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{2-2\ln x}{x}[/tex]
[tex]\boxed{f'(x)=\dfrac{2(1-\ln x)}{x}}[/tex]
3) Signe de f '(x) et variations de f.
Racine du numérateur : 2(1-ln x)=0
1 - lnx = 0
lnx = 1
x = e ≈ 2,718
Racine du dénominateur : x = 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&e\approx2,7&&+\infty \\ 2(1-\ln x)&+&+&0&-&\\ x&0&+&+&+&\\f'(x)&||&+&0&-&\\f(x)&-\infty&\nearrow&1&\searrow&-\infty\\ \end{array}[/tex]
f '(x) > 0 <==> x ∈ ]-oo ; e[
f '(x) < 0 <==> x ∈ ]e ; +oo[
Par conséquent,
f est strictement croissante sur l'intervalle ]-oo ; e[
f est strictement décroissante sur l'intervalle ]e ; +oo[
4a) Les abscisses des points A et B sont les solutions de l'équation f(x) = 0
(2 - lnx) lnx = 0
2 - lnx = 0 ou lnx = 0
lnx = 2 ou lnx = 0
[tex]\boxed{x=e^2\approx7,4\ \ ou\ \ x=e^0=1}[/tex]
Par conséquent, l'abscisse du point A est 1
l'abscisse du point B est e² ≈ 7,4
b) Le coefficient directeur de la tangente T à la courbe en A(1 ; 0) est donné par f '(1).
[tex]f'(x)=\dfrac{2(1-\ln x)}{x}\Longrightarrow f'(1)=\dfrac{2(1-\ln 1)}{1}\\\\\Longrightarrow f'(1)=\dfrac{2(1-0)}{1}=2[/tex]
D'où,
le coefficient directeur de la tangente T à la courbe en A(1 ; 0) est égal à 2.
Graphique en pièce jointe.
