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Bonjour , j'ai une difficulté sur un devoir de mathématiques , veuillez si possible m'aider s'il vous plait merci.
Donc voici mon exercice
Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=xe^1/x , (C) est la représentation graphique de f .
1) Déterminer les limites (jusque la aucun problème)
2)Calculer f'(x) (Aucun problème non plus)
3)Déterminer le tableau de variation de f ( C'est ici qu'arrive les problèmes )
4)Soit (d) la droite d'équation y=x+1 , montrer que la limite en +∞ de f(x)-(x+1) = 0
(étant bloqué à la question 3 j'ai avancé sur celle ci mais je bloque après la forme indéterminé de type ∞ - ∞ )

Sagot :

Gilles2016
f(x)=xe^1/x
 f'(x)=e^1/x+ x×(-1/x²)e^1/x
       = e^1/x-1/xe^1/x
       = [(x-1)/x]e^1/x 
f'(x)≥0 ⇔ x-1≥0 ⇔ x≥1 
donc f est croissante sur [1;+∞[ , et décroissante sur ]0;1] 
4) f(x)-(x+1)=xe^1/x-(x+1)
                 = x( e^1/x-1)-1 
                 = (e^1/x-1)/(1/x )-1 
 lim x→+∞ (e^1/x-1)/(1/x )=lim X→0 (e^X -1)/X  ici j'ai posé X=1/x 
Or d'après le cours lim X→0 (e^X -1)/X=1 
donc finalement  lim x→+∞f(x)-(x+1)= lim x→+∞(e^1/x-1)/(1/x )-1=1-1=0
Bon courage !
                  
                 
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