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Sagot :
f(x)=xe^1/x
f'(x)=e^1/x+ x×(-1/x²)e^1/x
= e^1/x-1/xe^1/x
= [(x-1)/x]e^1/x
f'(x)≥0 ⇔ x-1≥0 ⇔ x≥1
donc f est croissante sur [1;+∞[ , et décroissante sur ]0;1]
4) f(x)-(x+1)=xe^1/x-(x+1)
= x( e^1/x-1)-1
= (e^1/x-1)/(1/x )-1
lim x→+∞ (e^1/x-1)/(1/x )=lim X→0 (e^X -1)/X ici j'ai posé X=1/x
Or d'après le cours lim X→0 (e^X -1)/X=1
donc finalement lim x→+∞f(x)-(x+1)= lim x→+∞(e^1/x-1)/(1/x )-1=1-1=0
Bon courage !
f'(x)=e^1/x+ x×(-1/x²)e^1/x
= e^1/x-1/xe^1/x
= [(x-1)/x]e^1/x
f'(x)≥0 ⇔ x-1≥0 ⇔ x≥1
donc f est croissante sur [1;+∞[ , et décroissante sur ]0;1]
4) f(x)-(x+1)=xe^1/x-(x+1)
= x( e^1/x-1)-1
= (e^1/x-1)/(1/x )-1
lim x→+∞ (e^1/x-1)/(1/x )=lim X→0 (e^X -1)/X ici j'ai posé X=1/x
Or d'après le cours lim X→0 (e^X -1)/X=1
donc finalement lim x→+∞f(x)-(x+1)= lim x→+∞(e^1/x-1)/(1/x )-1=1-1=0
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