Bonjour Kaijux
Un artisan souhaite vendre entre 20 et 40 objets. Il est assuré de vendre toute sa production. Le prix de vente d'un objet varie en fonction de la quantité q produite et s'exprime en euros par f(q) = 50− q.
Son coût de production est fixe et s'élève à 525€.
1. Quel est le prix de vente d'un objet s'il en a produit 30 ?
50-q avec q = 30.
50 - 30 = 20
S'il en produit 30, le prix de vente d'un objet est égal à 20 €.
2. Exprimer sa recette R(q) en fonction de q, le nombre d'objets produits.
R(q) = nombre d'objets * prix de vente d'un objet.
R(q) = q(50 - q)
3. Montrer que son bénéfice B est donné par : B(q) = −q² +50q −525
Bénéfice = Recette - Coût de production.
B(q) = q(50 - q) - 525
B(q) = 50q - q² - 525
B(q) = -q² + 50q - 525
4. Montrer que pour tout réel q, B(q) = (q −15)(35− q).
(q - 15)(35 - q) = q*35 - q*q - 15*35 - 15*(-q)
(q - 15)(35 - q) = 35q - q² - 525 + 15q
(q - 15)(35 - q) = -q² +35q + 15q - 525
(q - 15)(35 - q) = -q² +50q - 525
5. Quelle quantité d'objets devra produire l'artisan afin de réaliser des bénéfices ?
Le bénéfice de l'artisan doit être positif.
Il faut résoudre l'inéquation B(q) > 0
-q² + 50q - 525 > 0
(q - 15)(35 - q) > 0
Or 20 < q < 40 ==> 20 - 15 < q - 15 < 40 - 15
==> 5 < q - 15 < 25
Donc q - 15 est positif.
Dans l'inéquation (q - 15)(35 - q) > 0, divisons les deux membres par le nombre positif q-15.
L'inéquation devient :
35 - q > 0
35 > q
Donc q < 35
Par conséquent,
afin de réaliser un bénéfice, l'artisan devra produire entre 20 et 35 objets.
