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Sagot :
Bonjour ma5ri9net11emina84
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}+\sqrt{1})(\sqrt{2}-\sqrt{1})}\\\\\\=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}^2-(\sqrt{1})^2}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1}=\sqrt{2}-\sqrt{1}[/tex]
De même,
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\\\\\\=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}[/tex]
De même,
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=...=\sqrt{4}-\sqrt{3}\\\\\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=...=\sqrt{5}-\sqrt{4}[/tex]
etc...
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=...=\sqrt{100}-\sqrt{99}[/tex]
Donc
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\sqrt{1}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}[/tex]
...
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}=\sqrt{99}-\sqrt{98}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}[/tex]
En additionnant toutes ces égalités membres à membres et en simplifiant les termes qui s'annulent, nous obtenons :
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\sqrt{100}-\sqrt{1}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=10-1[/tex]
[tex]\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=9}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}+\sqrt{1})(\sqrt{2}-\sqrt{1})}\\\\\\=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}^2-(\sqrt{1})^2}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1}=\sqrt{2}-\sqrt{1}[/tex]
De même,
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\\\\\\=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}[/tex]
De même,
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=...=\sqrt{4}-\sqrt{3}\\\\\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=...=\sqrt{5}-\sqrt{4}[/tex]
etc...
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=...=\sqrt{100}-\sqrt{99}[/tex]
Donc
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\sqrt{1}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}[/tex]
...
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}=\sqrt{99}-\sqrt{98}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}[/tex]
En additionnant toutes ces égalités membres à membres et en simplifiant les termes qui s'annulent, nous obtenons :
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\sqrt{100}-\sqrt{1}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=10-1[/tex]
[tex]\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=9}[/tex]
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