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Sagot :
Bonjour C1hlzinalminichabal
[tex]\cos(5x)=\cos(4x+x)\\\\\cos(5x)=\cos(4x)\cos(x)-\sin(4x)\sin(x)[/tex]
Or
[tex]\cos(4x)=2\cos^2(2x)-1\\\cos(4x)=2[2\cos^2(x)-1]^2-1\\\cos(4x)=2[4\cos^4(x)-4\cos^2(x)+1]-1\\\cos(4x)=8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+2-1[/tex]
[tex]\cos(4x)=8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1[/tex]
et
[tex]\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)\\\sin(4x)=2[2\sin(x)\cos(x)][2\cos^2(x)-1]\\\sin(4x)=4\sin(x)\cos(x)[2\cos^2(x)-1][/tex]
D'où,
[tex]\cos(5x)=[8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1]\cos(x)\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4\sin(x)\cos(x)[2\cos^2(x)-1]\sin(x)[/tex]
[tex]\cos(5x)=8\cos^5(x)-8\cos^3(x)+\cos(x)\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4\sin^2(x)\cos(x)[2\cos^2(x)-1][/tex]
[tex]\cos(5x)=8\cos^5(x)-8\cos^3(x)+\cos(x)\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4[1-\cos^2(x)]\cos(x)[2\cos^2(x)-1][/tex]
[tex]\cos(5x)=8\cos^5(x)-8\cos^3(x)+\cos(x)\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[4\cos(x)-4\cos^3(x)][2\cos^2(x)-1][/tex]
[tex]\cos(5x)=8\cos^5(x)-8\cos^3(x)+\cos(x)\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -8\cos^3(x)+4\cos(x)+8\cos^5(x)-4\cos^3(x)[/tex]
[tex]\boxed{\cos(5x)=16\cos^5(x)-20\cos^3(x)+5\cos(x)}[/tex]
[tex]\cos(5x)=\cos(4x+x)\\\\\cos(5x)=\cos(4x)\cos(x)-\sin(4x)\sin(x)[/tex]
Or
[tex]\cos(4x)=2\cos^2(2x)-1\\\cos(4x)=2[2\cos^2(x)-1]^2-1\\\cos(4x)=2[4\cos^4(x)-4\cos^2(x)+1]-1\\\cos(4x)=8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+2-1[/tex]
[tex]\cos(4x)=8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1[/tex]
et
[tex]\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)\\\sin(4x)=2[2\sin(x)\cos(x)][2\cos^2(x)-1]\\\sin(4x)=4\sin(x)\cos(x)[2\cos^2(x)-1][/tex]
D'où,
[tex]\cos(5x)=[8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1]\cos(x)\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4\sin(x)\cos(x)[2\cos^2(x)-1]\sin(x)[/tex]
[tex]\cos(5x)=8\cos^5(x)-8\cos^3(x)+\cos(x)\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4\sin^2(x)\cos(x)[2\cos^2(x)-1][/tex]
[tex]\cos(5x)=8\cos^5(x)-8\cos^3(x)+\cos(x)\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4[1-\cos^2(x)]\cos(x)[2\cos^2(x)-1][/tex]
[tex]\cos(5x)=8\cos^5(x)-8\cos^3(x)+\cos(x)\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[4\cos(x)-4\cos^3(x)][2\cos^2(x)-1][/tex]
[tex]\cos(5x)=8\cos^5(x)-8\cos^3(x)+\cos(x)\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -8\cos^3(x)+4\cos(x)+8\cos^5(x)-4\cos^3(x)[/tex]
[tex]\boxed{\cos(5x)=16\cos^5(x)-20\cos^3(x)+5\cos(x)}[/tex]
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