Bonjour Phybe
Etudier la position relative de T et de Cf revient à étudier le signe de la différence [tex]d(x)=f(x) - (-x-\dfrac{5}{2})[/tex], soit de la différence [tex]d(x) = f(x) +x+\dfrac{5}{2}[/tex]
[tex]d(x)=\dfrac{-16}{4x^2+7}+x+\dfrac{5}{2}[/tex]
[tex]d(x)=\dfrac{-16}{4x^2+7}+\dfrac{(x+\dfrac{5}{2})(4x^2+7)}{4x^2+7}[/tex]
[tex]d(x)=\dfrac{-16+(x+\dfrac{5}{2})(4x^2+7)}{4x^2+7}[/tex]
[tex]d(x)=\dfrac{-16+4x^3+7x+10x^2+\dfrac{35}{2}}{4x^2+7}[/tex]
[tex]d(x)=\dfrac{4x^3+10x^2+7x+10x^2-16+\dfrac{35}{2}}{4x^2+7}[/tex]
[tex]d(x)=\dfrac{4x^3+10x^2+7x-\dfrac{32}{2}+\dfrac{35}{2}}{4x^2+7}[/tex]
[tex]d(x)=\dfrac{4x^3+10x^2+7x+\dfrac{3}{2}}{4x^2+7}[/tex]
[tex]d(x)=\dfrac{\dfrac{8x^3+20x^2+14x+3}{2}}{4x^2+7}[/tex]
[tex]d(x)=\dfrac{8x^3+20x^2+14x+3}{2(4x^2+7)}[/tex]
En utilisant la question 2) a),
[tex]d(x)=\dfrac{(2x+1)^2(2x+3)}{2(4x^2+7)}[/tex]
Or
[tex](2x+1)^2\ \textgreater \ 0\\2(4x^2+7)\ \textgreater \ 0[/tex]
Donc le signe de d(x) sera le même que le signe de (2x+3)
[tex]2x+3\ \textless \ 0\Longleftrightarrow2x\ \textless \ -3\Longleftrightarrow x\ \textless \ -\dfrac{3}{2}\\\\2x+3\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow2x\ \textgreater \ -3\Longleftrightarrow x\ \textgreater \ -\dfrac{3}{2}[/tex]
Par conséquent,
La courbe Cf sera en-dessous de la tangente T si [tex]x\ \in\ ]-\infty\ ;\ -\dfrac{3}{2}[[/tex]
La courbe Cf sera au-dessus de la tangente T si [tex]x\ \in\ ]-\dfrac{3}{2}\ \ +\infty[[/tex]
