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Sagot :
Bonjour St6e6phystelaur,
[tex]\cos(x)= \dfrac{\exp(ix)+\exp(-ix)}{2}\\\cos^5(x)= [\dfrac{\exp(ix)+\exp(-ix)}{2}]^5[/tex]
[tex]\cos^5(x)= \dfrac{1}{2^5}\times[(\exp(ix)+\exp(-ix)]^5[/tex]
[tex]\cos^5(x)= \dfrac{1}{32}\times[(\exp(ix))^5+5(\exp(ix))^4(\exp(-ix))\\\\ +10(\exp(ix))^3(\exp(-ix))^2+10(\exp(ix))^2(\exp(-ix))^3\\\\+5(\exp(ix))(\exp(-ix))^4+(\exp(-ix))^5][/tex]
[tex]\cos^5(x)=\dfrac{1}{32}\times[\exp(5ix)+5\exp(4ix)\exp(-ix)\\\\ +10\exp(3ix)\exp(-2ix)+10\exp(2ix)\exp(-3ix)\\\\+5\exp(ix)\exp(-4ix)+\exp(-5ix)][/tex]
[tex]\cos^5(x)= \dfrac{1}{32}\times[\exp(5ix)+5\exp(3ix)+10\exp(ix)+10\exp(-ix)\\\\+5\exp(-3x)+\exp(-5ix)][/tex]
[tex]\cos^5(x)= \dfrac{1}{32}\times[\exp(5ix)+\exp(-5ix)+5(\exp(3ix)+\exp(-3x))\\\\+10(\exp(ix)+\exp(-ix))][/tex]
[tex]\cos^5(x)= \dfrac{1}{32}\times[2\cos(5x)+5\times2\cos(3x)+10\times2\cos(x)][/tex]
[tex]\cos^5(x)= \dfrac{2}{32}\times[\cos(5x)+5\cos(3x)+10\cos(x)][/tex]
[tex]\boxed{\cos^5(x)= \dfrac{1}{16}\times[\cos(5x)+5\cos(3x)+10\cos(x)]}[/tex]
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