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Sagot :
Bonjour Jennifercassin
1) Etudions les variations de la fonction f définie sur R par [tex]f(x)=e^x-(1+x)[/tex].
[tex]f'(x)=e^x-1[/tex]
Signe de la dérivée et variations de f:
[tex]e^x-1=0\Longrightarrow e^x=1\Longrightarrow x=0[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty \\ f'(x)&&-&0&+&\\ f(x)&&\searrow&0&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
On en déduit que [tex]f(x)\ge0[/tex] pour tout x réel,
soit que [tex]e^x-(1+x)\ge0[/tex] pour tout x réel,
soit que [tex]\boxed{e^x\ge1+x}[/tex] pour tout x réel.
Dans cette dernière inégalité, remplaçons x par 1/n.
[tex]e^\frac{1}{n}\ge1+\dfrac{1}{n}[/tex]
Elevons les deux membres de cette inégalité à la puissance n, sachant que la fonction "puissance n" est strictement croissante sur R⁺
[tex](e^\frac{1}{n})^n\ge(1+\dfrac{1}{n})^n[/tex]
[tex]e^{\frac{1}{n}\times n}\ge(1+\dfrac{1}{n})^n[/tex]
[tex]e^1\ge(1+\dfrac{1}{n})^n[/tex]
[tex]e\ge(1+\dfrac{1}{n})^n[/tex]
[tex]\boxed{(1+\dfrac{1}{n})^n\le e}[/tex]
En remplaçant x par (-x) dans l'inégalité [tex]\boxed{e^x\ge1+x}[/tex] , nous obtenons :
[tex]e^{-x}\ge1-x[/tex]
Si 1-x > 0 (<==> x<1), alors les deux membres de l'inégalité précédente sont positifs.
La fonction inverse étant strictement décroissante sur ]0;+oo[, nous en déduisons que [tex]\dfrac{1}{e^{-x}}\le\dfrac{1}{1-x}[/tex] sur l'intervalle ]-oo;1[,
soit que [tex]\boxed{e^x\le\dfrac{1}{1-x}}[/tex]
Puisque [tex]\dfrac{1}{n+1}\ \textless \ 1[/tex], nous pouvons remplacer x par 1/(n+1) dans l'inégalité précédente.
[tex]e^\frac{1}{n+1}\le\dfrac{1}{1-\frac{1}{n+1}}[/tex]
[tex]e^\frac{1}{n+1}\le\dfrac{1}{\frac{(n+1)-1}{n+1}}[/tex]
[tex]e^\frac{1}{n+1}\le\dfrac{1}{\frac{n}{n+1}}[/tex]
[tex]e^\frac{1}{n+1}\le\dfrac{n+1}{n}[/tex]
[tex]e^\frac{1}{n+1}\le\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}[/tex]
[tex]e^\frac{1}{n+1}\le1+\dfrac{1}{n}[/tex]
Elevons les deux membres à la puissance (n+1).
[tex](e^\frac{1}{n+1})^{n+1}\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}[/tex]
[tex]e^{\frac{1}{n+1}\times(n+1)}\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}[/tex]
[tex]e^1\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}[/tex]
[tex]\boxed{e\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}}[/tex]
Par conséquent, pour tout n ≥ 1,
[tex]\boxed{(1+\dfrac{1}{n})^n\le e\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}}[/tex]
2) [tex]v_n-u_n=(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}-(1+\dfrac{1}{n})^{n}[/tex]
[tex]v_n-u_n=(1+\dfrac{1}{n})^n(1+\dfrac{1}{n})-(1+\dfrac{1}{n})^{n}[/tex]
[tex]v_n-u_n=(1+\dfrac{1}{n})^n[(1+\dfrac{1}{n})-1][/tex]
[tex]v_n-u_n=(1+\dfrac{1}{n})^n(1+\dfrac{1}{n}-1][/tex]
[tex]v_n-u_n=(1+\dfrac{1}{n})^n\times\dfrac{1}{n}[/tex]
Or
[tex](1+\dfrac{1}{n})^n\ \textless \ e\ \textless \ 3\Longrightarrow (1+\dfrac{1}{n})^n\ \textless \ 3\\\\\Longrightarrow(1+\dfrac{1}{n})^n\times\dfrac{1}{n}\ \textless \ 3\times\dfrac{1}{n}[/tex]
[tex]\Longrightarrow(1+\dfrac{1}{n})^n\times\dfrac{1}{n}\ \textless \ \dfrac{3}{n}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{v_n-u_n\ \textless \ \dfrac{3}{n}}[/tex]
1) Etudions les variations de la fonction f définie sur R par [tex]f(x)=e^x-(1+x)[/tex].
[tex]f'(x)=e^x-1[/tex]
Signe de la dérivée et variations de f:
[tex]e^x-1=0\Longrightarrow e^x=1\Longrightarrow x=0[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty \\ f'(x)&&-&0&+&\\ f(x)&&\searrow&0&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
On en déduit que [tex]f(x)\ge0[/tex] pour tout x réel,
soit que [tex]e^x-(1+x)\ge0[/tex] pour tout x réel,
soit que [tex]\boxed{e^x\ge1+x}[/tex] pour tout x réel.
Dans cette dernière inégalité, remplaçons x par 1/n.
[tex]e^\frac{1}{n}\ge1+\dfrac{1}{n}[/tex]
Elevons les deux membres de cette inégalité à la puissance n, sachant que la fonction "puissance n" est strictement croissante sur R⁺
[tex](e^\frac{1}{n})^n\ge(1+\dfrac{1}{n})^n[/tex]
[tex]e^{\frac{1}{n}\times n}\ge(1+\dfrac{1}{n})^n[/tex]
[tex]e^1\ge(1+\dfrac{1}{n})^n[/tex]
[tex]e\ge(1+\dfrac{1}{n})^n[/tex]
[tex]\boxed{(1+\dfrac{1}{n})^n\le e}[/tex]
En remplaçant x par (-x) dans l'inégalité [tex]\boxed{e^x\ge1+x}[/tex] , nous obtenons :
[tex]e^{-x}\ge1-x[/tex]
Si 1-x > 0 (<==> x<1), alors les deux membres de l'inégalité précédente sont positifs.
La fonction inverse étant strictement décroissante sur ]0;+oo[, nous en déduisons que [tex]\dfrac{1}{e^{-x}}\le\dfrac{1}{1-x}[/tex] sur l'intervalle ]-oo;1[,
soit que [tex]\boxed{e^x\le\dfrac{1}{1-x}}[/tex]
Puisque [tex]\dfrac{1}{n+1}\ \textless \ 1[/tex], nous pouvons remplacer x par 1/(n+1) dans l'inégalité précédente.
[tex]e^\frac{1}{n+1}\le\dfrac{1}{1-\frac{1}{n+1}}[/tex]
[tex]e^\frac{1}{n+1}\le\dfrac{1}{\frac{(n+1)-1}{n+1}}[/tex]
[tex]e^\frac{1}{n+1}\le\dfrac{1}{\frac{n}{n+1}}[/tex]
[tex]e^\frac{1}{n+1}\le\dfrac{n+1}{n}[/tex]
[tex]e^\frac{1}{n+1}\le\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}[/tex]
[tex]e^\frac{1}{n+1}\le1+\dfrac{1}{n}[/tex]
Elevons les deux membres à la puissance (n+1).
[tex](e^\frac{1}{n+1})^{n+1}\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}[/tex]
[tex]e^{\frac{1}{n+1}\times(n+1)}\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}[/tex]
[tex]e^1\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}[/tex]
[tex]\boxed{e\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}}[/tex]
Par conséquent, pour tout n ≥ 1,
[tex]\boxed{(1+\dfrac{1}{n})^n\le e\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}}[/tex]
2) [tex]v_n-u_n=(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}-(1+\dfrac{1}{n})^{n}[/tex]
[tex]v_n-u_n=(1+\dfrac{1}{n})^n(1+\dfrac{1}{n})-(1+\dfrac{1}{n})^{n}[/tex]
[tex]v_n-u_n=(1+\dfrac{1}{n})^n[(1+\dfrac{1}{n})-1][/tex]
[tex]v_n-u_n=(1+\dfrac{1}{n})^n(1+\dfrac{1}{n}-1][/tex]
[tex]v_n-u_n=(1+\dfrac{1}{n})^n\times\dfrac{1}{n}[/tex]
Or
[tex](1+\dfrac{1}{n})^n\ \textless \ e\ \textless \ 3\Longrightarrow (1+\dfrac{1}{n})^n\ \textless \ 3\\\\\Longrightarrow(1+\dfrac{1}{n})^n\times\dfrac{1}{n}\ \textless \ 3\times\dfrac{1}{n}[/tex]
[tex]\Longrightarrow(1+\dfrac{1}{n})^n\times\dfrac{1}{n}\ \textless \ \dfrac{3}{n}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{v_n-u_n\ \textless \ \dfrac{3}{n}}[/tex]
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