Sagot :
Bonjour Raphdu18
Partie A
Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +oo[ par :
g(x) = x − x ln x.
1. Déterminer les limites de la fonction g en 0 et +oo.
[tex]\left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}x=0\\\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0 \end{matrix}\right.\Longrightarrow \lim\limits_{x\to0^+}(x-x\ln x)=0\Longrightarrow \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=0}[/tex]
g(x) = x - x ln x
g(x) = x(1 - ln x)
[tex]\left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)=-\infty\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}x(1-\ln x)=-\infty\\\\\\\Longrightarrow \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty}[/tex]
2. Montrer que g est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +oo[ et que g'(x) = − ln x.
La fonction x → x est dérivable sur ]0 ; +oo[
La fonction x → ln x est dérivable sur ]0 ; +oo[
Donc la fonction x → x ln x est dérivable sur ]0 ; +oo[ (produit de deux fonctions dérivables sur ]0 : +oo[)
D'où a fonction x → x - x ln x est dérivable sur ]0 ; +oo[ (différence de deux fonctions dérivables sur ]0 : +oo[)
[tex]g'(x) = (x - x\ln x)'\\\\g'(x) = x' - (x\ln x)'[/tex]
[tex]\\\\g'(x) = 1 - [x'\times\ln x+x\times(\ln x)']\\\\g'(x) = 1 - [1\times\ln x+x\times\dfrac{1}{x}][/tex]
[tex]\\\\g'(x) = 1 - \ln x-1\\\\\boxed{g'(x) = - \ln x}[/tex]
3. Dresser le tableau de variations de la fonction g.
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&1&&+\infty \\ g'(x)=-\ln x&&+&0&-&\\g(x)&0&\nearrow&1&\searrow&-\infty\\ \end{array}[/tex]
Partie B
Soit (un) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par [tex]u_n = \dfrac{e^n}{n^n}[/tex]
1. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice :
a) le sens de variation de la suite (un)
En donnant des valeurs successives à n, nous conjecturons que la suite (un) semble être décroissante.
b) la limite éventuelle de la suite (un).
Il semble que la suite (un) converge vers 0 et que la limite de un = 0 si n tend vers +oo.
2. Soit (vn) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par vn = ln(un).
a) En utilisant la Partie A, déterminer le sens de variation de la suite (vn).
[tex]v_n=\ln u_n\\\\v_n=\ln \dfrac{e^n}{n^n}[/tex]
[tex]v_n=\ln e^n-\ln n^n\\\\v_n=n\ln e-n\ln n[/tex]
[tex]v_n=n\times1-n\ln n\\\\\boxed{v_n=n-n\ln n}\\\\\boxed{v_n=g(n)}[/tex]
Nous avons démontré dans 3ème question de la partie A que la fonction g était décroissante sur l'intervalle [1 ; +oo[.
Par définition de fonction décroissante,
si n ≥ 1, alors n < n+1 ==> g(n) > g(n+1)
soit
si n ≥ 1, alors n < n+1 ==> [tex]v_n\ \textgreater \ v_{n+1}[/tex]
Donc pour tout entier n non nul, [tex]v_n\ \textgreater \ v_{n+1}[/tex]
Par conséquent, la suite (vn) est strictement décroissante
b) En déduire le sens de variation de la suite (un).
[tex]v_n=\ln u_n\Longrightarrow u_n=e^{v_n}[/tex]
Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur R+
Donc[tex] v_n\ \textgreater \ v_{n+1}\Longrightarrow e^{v_n}\ \textgreater \ e^{v_{n+1}}[/tex]
D'où [tex]u_n=e^{v_n}\ \textgreater \ e^{v_{n+1}}=u{n+1}\Longrightarrow \boxed{u_n\ \textgreater \ u_{n+1}}[/tex]
Par conséquent, la suite (un) est strictement décroissante.
3. Montrer que la suite (un) est bornée
La suite (un) est décroissante et positive.
Elle est donc minorée par 0
Or, selon la décroissance de la suite (un), pour toutes les valeurs de n non nulles, [tex]u_n\le u_1=e[/tex]
Donc [tex]\boxed{0\le u_n\le e}[/tex]
Par conséquent, la suite (un) est bornée par 0 et e.
4. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.
La suite (un) est décroissante et bornée.
Donc cette suite est convergente.
[tex]\left\{\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}g(n)=-\infty\\ u_n=e^{g(n)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{X\to-\infty}e^X=0[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}[/tex]
Partie A
Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +oo[ par :
g(x) = x − x ln x.
1. Déterminer les limites de la fonction g en 0 et +oo.
[tex]\left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}x=0\\\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0 \end{matrix}\right.\Longrightarrow \lim\limits_{x\to0^+}(x-x\ln x)=0\Longrightarrow \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=0}[/tex]
g(x) = x - x ln x
g(x) = x(1 - ln x)
[tex]\left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)=-\infty\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}x(1-\ln x)=-\infty\\\\\\\Longrightarrow \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty}[/tex]
2. Montrer que g est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +oo[ et que g'(x) = − ln x.
La fonction x → x est dérivable sur ]0 ; +oo[
La fonction x → ln x est dérivable sur ]0 ; +oo[
Donc la fonction x → x ln x est dérivable sur ]0 ; +oo[ (produit de deux fonctions dérivables sur ]0 : +oo[)
D'où a fonction x → x - x ln x est dérivable sur ]0 ; +oo[ (différence de deux fonctions dérivables sur ]0 : +oo[)
[tex]g'(x) = (x - x\ln x)'\\\\g'(x) = x' - (x\ln x)'[/tex]
[tex]\\\\g'(x) = 1 - [x'\times\ln x+x\times(\ln x)']\\\\g'(x) = 1 - [1\times\ln x+x\times\dfrac{1}{x}][/tex]
[tex]\\\\g'(x) = 1 - \ln x-1\\\\\boxed{g'(x) = - \ln x}[/tex]
3. Dresser le tableau de variations de la fonction g.
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&1&&+\infty \\ g'(x)=-\ln x&&+&0&-&\\g(x)&0&\nearrow&1&\searrow&-\infty\\ \end{array}[/tex]
Partie B
Soit (un) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par [tex]u_n = \dfrac{e^n}{n^n}[/tex]
1. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice :
a) le sens de variation de la suite (un)
En donnant des valeurs successives à n, nous conjecturons que la suite (un) semble être décroissante.
b) la limite éventuelle de la suite (un).
Il semble que la suite (un) converge vers 0 et que la limite de un = 0 si n tend vers +oo.
2. Soit (vn) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par vn = ln(un).
a) En utilisant la Partie A, déterminer le sens de variation de la suite (vn).
[tex]v_n=\ln u_n\\\\v_n=\ln \dfrac{e^n}{n^n}[/tex]
[tex]v_n=\ln e^n-\ln n^n\\\\v_n=n\ln e-n\ln n[/tex]
[tex]v_n=n\times1-n\ln n\\\\\boxed{v_n=n-n\ln n}\\\\\boxed{v_n=g(n)}[/tex]
Nous avons démontré dans 3ème question de la partie A que la fonction g était décroissante sur l'intervalle [1 ; +oo[.
Par définition de fonction décroissante,
si n ≥ 1, alors n < n+1 ==> g(n) > g(n+1)
soit
si n ≥ 1, alors n < n+1 ==> [tex]v_n\ \textgreater \ v_{n+1}[/tex]
Donc pour tout entier n non nul, [tex]v_n\ \textgreater \ v_{n+1}[/tex]
Par conséquent, la suite (vn) est strictement décroissante
b) En déduire le sens de variation de la suite (un).
[tex]v_n=\ln u_n\Longrightarrow u_n=e^{v_n}[/tex]
Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur R+
Donc[tex] v_n\ \textgreater \ v_{n+1}\Longrightarrow e^{v_n}\ \textgreater \ e^{v_{n+1}}[/tex]
D'où [tex]u_n=e^{v_n}\ \textgreater \ e^{v_{n+1}}=u{n+1}\Longrightarrow \boxed{u_n\ \textgreater \ u_{n+1}}[/tex]
Par conséquent, la suite (un) est strictement décroissante.
3. Montrer que la suite (un) est bornée
La suite (un) est décroissante et positive.
Elle est donc minorée par 0
Or, selon la décroissance de la suite (un), pour toutes les valeurs de n non nulles, [tex]u_n\le u_1=e[/tex]
Donc [tex]\boxed{0\le u_n\le e}[/tex]
Par conséquent, la suite (un) est bornée par 0 et e.
4. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.
La suite (un) est décroissante et bornée.
Donc cette suite est convergente.
[tex]\left\{\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}g(n)=-\infty\\ u_n=e^{g(n)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{X\to-\infty}e^X=0[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}[/tex]
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