soit f(x)= tan(x) -x avec x∈[-π/2 ; π/2]
f est dérivable et donc continue
tan(x)= sin(x)/cos(x)
tan'(x)=( cos²(x)+sin²(x))/cos²(x)=1+ sin²(x)/cos²(x)=1+tan²(x)
donc f'(x)=1+tan²(x)-1=tan²(x)≥0
donc f est strictement croissante sur [-π/2 ; π/2]
f est continue et strictement croissante sur [-π/2 ; π/2] . Donc f est une fonction bijective . de plus f([-π/2 ; π/2])=]-∞,+∞[= R
Donc f admet une bijection réciproque g définie par :
g: R → [-π/2 ; π/2]
x→ g(x)=f⁻¹(x)
Remarque : On ne peut pas determiner explicitement l'expression algébrique de g . On vient de montrer que g existe et est définie sur R .
Bon courage !
