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Sagot :
Bonjour Jujitsuzakaria
Soit [tex]x=\cos(\dfrac{\pi}{5})\ et\ y=\cos(\dfrac{3\pi}{5})[/tex]
Alors
[tex]\left\{\begin{matrix} x+y=\dfrac{1}{2}\\x\times y=-\dfrac{1}{4} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} y=\dfrac{1}{2}-x\\x\times y=-\dfrac{1}{4} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} y=\dfrac{1}{2}-x\\x\times (\dfrac{1}{2}-x)=-\dfrac{1}{4} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex] \left\{\begin{matrix} y=\dfrac{1}{2}-x\\\dfrac{1}{2}x-x^2=-\dfrac{1}{4} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} y=\dfrac{1}{2}-x\\\\x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}=0 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}=0\\\\4x^2-2x-1=0\\\Delta=(-2)^2-4\times4\times(-1)=4+16=20[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{2-\sqrt{20}}{8}=\dfrac{2-\sqrt{4\times5}}{8}=\dfrac{2-2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{2(1-\sqrt{5})}{8}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}[/tex]
[tex]x_2=\dfrac{2+\sqrt{20}}{8}=\dfrac{2+\sqrt{4\times5}}{8}=\dfrac{2+2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{8}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}[/tex]
Or [tex]x=\cos(\dfrac{\pi}{5})\ \textgreater \ 0[/tex]
Donc la valeur [tex]x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\approx-0,3\ \textless \ 0[/tex] est à rejeter.
Donc [tex]x=\cos(\dfrac{\pi}{5})=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}[/tex]
Remplaçons x par cette valeur dans l'équation [tex]y=\dfrac{1}{2}-x[/tex]
[tex]y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\\\\y=\dfrac{2}{4}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\\\\y=\dfrac{2-1-\sqrt{5}}{4}\\\\y=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}[/tex]
Donc [tex]y=\cos(\dfrac{3\pi}{5})=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\left\{\begin{matrix}\cos(\dfrac{\pi}{5})=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\\\\\cos(\dfrac{3\pi}{5})=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4} \end{matrix}\right.}[/tex]
Soit [tex]x=\cos(\dfrac{\pi}{5})\ et\ y=\cos(\dfrac{3\pi}{5})[/tex]
Alors
[tex]\left\{\begin{matrix} x+y=\dfrac{1}{2}\\x\times y=-\dfrac{1}{4} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} y=\dfrac{1}{2}-x\\x\times y=-\dfrac{1}{4} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} y=\dfrac{1}{2}-x\\x\times (\dfrac{1}{2}-x)=-\dfrac{1}{4} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex] \left\{\begin{matrix} y=\dfrac{1}{2}-x\\\dfrac{1}{2}x-x^2=-\dfrac{1}{4} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} y=\dfrac{1}{2}-x\\\\x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}=0 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}=0\\\\4x^2-2x-1=0\\\Delta=(-2)^2-4\times4\times(-1)=4+16=20[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{2-\sqrt{20}}{8}=\dfrac{2-\sqrt{4\times5}}{8}=\dfrac{2-2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{2(1-\sqrt{5})}{8}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}[/tex]
[tex]x_2=\dfrac{2+\sqrt{20}}{8}=\dfrac{2+\sqrt{4\times5}}{8}=\dfrac{2+2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{8}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}[/tex]
Or [tex]x=\cos(\dfrac{\pi}{5})\ \textgreater \ 0[/tex]
Donc la valeur [tex]x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\approx-0,3\ \textless \ 0[/tex] est à rejeter.
Donc [tex]x=\cos(\dfrac{\pi}{5})=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}[/tex]
Remplaçons x par cette valeur dans l'équation [tex]y=\dfrac{1}{2}-x[/tex]
[tex]y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\\\\y=\dfrac{2}{4}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\\\\y=\dfrac{2-1-\sqrt{5}}{4}\\\\y=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}[/tex]
Donc [tex]y=\cos(\dfrac{3\pi}{5})=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\left\{\begin{matrix}\cos(\dfrac{\pi}{5})=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\\\\\cos(\dfrac{3\pi}{5})=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4} \end{matrix}\right.}[/tex]
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