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Sagot :
Bonjour Chade
Nous supposons que la zone de baignade est le rectangle ABCD avec A et D sur la plage.
L'aire de la zone de baignade = aire du rectangle ABCD = [tex]AB\times BC[/tex]
1) Quelle est l'aire de la baignade si la bouée B est à 10m de la plage?
AB = 10 ==> CD = 10
Or AB + BC + CD = 160
10 + BC + 10 = 160
20 + BC = 160
BC = 160 - 20
BC = 140.
Aire de la zone de baignade = [tex]AB \times BC = 10\times140=1400[/tex]
D'où, si la bouée B est à 10 m de la plage, l'aire de la zone de baignade est égale à 1400 m².
1') Quelle est l'aire de la baignade si la bouée B est à 20m de la plage?
AB = 20 ==> CD = 10
Or AB + BC + CD = 160
20 + BC + 20 = 160
40 + BC = 160
BC = 160 - 40
BC = 120.
Aire de la zone de baignade = [tex]AB \times BC = 20\times120=2400[/tex]
D'où, si la bouée B est à 20 m de la plage, l'aire de la zone de baignade est égale à 2400 m².
2) Quelle est la distance maximale à laquelle la bouée B peut se trouver ?
160/2 = 80
La bouée B peut se trouver à une distance maximale de 80 m de la plage.
3) Déterminer, au centimètre près, où placer les bouées B et C pour que la zone de baignade soit plus grande possible. Détailler la démarche suivie.
Soit AB = x
Alors CD = x
et
AB + BC + CD = 10 <==> x + BC + x = 160
<==> 2x + BC = 160
<==> BC = 160 - 2x
L'aire de la zone de baignade est [tex]A(x) = x\times(160-2x)[/tex]
[tex]A(x)=160x-2x^2\\\boxed{A(x) = -2x^2+160x}[/tex]
Or
[tex]A(x) = -2x^2+160x\\A(x) = -2(x^2-80x)\\A(x) = -2(x^2-80x+1600-1600)\\A(x) = -2(x^2-80x+1600)+3200\\A(x) = -2(x-40)^2+3200[/tex]
[tex]A(x) -3200= -2(x-40)^2[/tex]
Mais
[tex](x-40)^2\ge0\Longrightarrow-2(x-40)^2\le0\Longrightarrow A(x)-3200\le0\\\\\Longrightarrow \boxed{A(x)\le3200}[/tex]
D'où la valeur maximale de l'aire de la zone de baignade est 3200 m².
Cette valeur est atteinte pour x = 40 car A(40) = 3200.
Par conséquent, le maître nageur doit placer les bouées B et C à 40 mètre de la plage pour que la zone de baignade soit plus grande possible.
Nous supposons que la zone de baignade est le rectangle ABCD avec A et D sur la plage.
L'aire de la zone de baignade = aire du rectangle ABCD = [tex]AB\times BC[/tex]
1) Quelle est l'aire de la baignade si la bouée B est à 10m de la plage?
AB = 10 ==> CD = 10
Or AB + BC + CD = 160
10 + BC + 10 = 160
20 + BC = 160
BC = 160 - 20
BC = 140.
Aire de la zone de baignade = [tex]AB \times BC = 10\times140=1400[/tex]
D'où, si la bouée B est à 10 m de la plage, l'aire de la zone de baignade est égale à 1400 m².
1') Quelle est l'aire de la baignade si la bouée B est à 20m de la plage?
AB = 20 ==> CD = 10
Or AB + BC + CD = 160
20 + BC + 20 = 160
40 + BC = 160
BC = 160 - 40
BC = 120.
Aire de la zone de baignade = [tex]AB \times BC = 20\times120=2400[/tex]
D'où, si la bouée B est à 20 m de la plage, l'aire de la zone de baignade est égale à 2400 m².
2) Quelle est la distance maximale à laquelle la bouée B peut se trouver ?
160/2 = 80
La bouée B peut se trouver à une distance maximale de 80 m de la plage.
3) Déterminer, au centimètre près, où placer les bouées B et C pour que la zone de baignade soit plus grande possible. Détailler la démarche suivie.
Soit AB = x
Alors CD = x
et
AB + BC + CD = 10 <==> x + BC + x = 160
<==> 2x + BC = 160
<==> BC = 160 - 2x
L'aire de la zone de baignade est [tex]A(x) = x\times(160-2x)[/tex]
[tex]A(x)=160x-2x^2\\\boxed{A(x) = -2x^2+160x}[/tex]
Or
[tex]A(x) = -2x^2+160x\\A(x) = -2(x^2-80x)\\A(x) = -2(x^2-80x+1600-1600)\\A(x) = -2(x^2-80x+1600)+3200\\A(x) = -2(x-40)^2+3200[/tex]
[tex]A(x) -3200= -2(x-40)^2[/tex]
Mais
[tex](x-40)^2\ge0\Longrightarrow-2(x-40)^2\le0\Longrightarrow A(x)-3200\le0\\\\\Longrightarrow \boxed{A(x)\le3200}[/tex]
D'où la valeur maximale de l'aire de la zone de baignade est 3200 m².
Cette valeur est atteinte pour x = 40 car A(40) = 3200.
Par conséquent, le maître nageur doit placer les bouées B et C à 40 mètre de la plage pour que la zone de baignade soit plus grande possible.
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